{"id":353,"date":"2018-01-28T16:34:50","date_gmt":"2018-01-28T16:34:50","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=353"},"modified":"2018-09-20T21:01:16","modified_gmt":"2018-09-20T21:01:16","slug":"21-puntos-s","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2018\/01\/28\/21-puntos-s\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a 21 puntos"},"content":{"rendered":"
Problema 2 de la Olitele (Olimpiada Telem\u00e1tica de Catalu\u00f1a) 2017\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Disponemos de 21 puntos, de forma que hay 11 en una recta y 11 en otra (uno de ellos est\u00e1 en la intersecci\u00f3n).<\/p>\n
\u00bfCu\u00e1ntos tri\u00e1ngulos podemos trazar cuyos v\u00e9rtices sean tres de esos puntos?<\/p>\n
Si los tres puntos est\u00e1n sobre la misma recta se considera que no pueden formar un tri\u00e1ngulo.
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\nEs de mucha utilidad tratar de hacer el recuento en un conjunto de puntos en dos rectas mucho m\u00e1s peque\u00f1o, por ejemplo, 5 puntos repartidos en dos rectas.<\/p>\n
Tenemos dos aproximaciones. En un caso, tratar de contar los conjuntos de tres puntos con la condici\u00f3n geom\u00e9trica de que formen un tri\u00e1ngulo, o la otra manera de trabajar es contarlas todas y descontar aquellos conjuntos que est\u00e9n sobre la misma recta.<\/p>\n
En la primera aproximaci\u00f3n, puesto que queremos que formen un tri\u00e1ngulo, contaremos por separado los casos en que contenga el punto de intersecci\u00f3n y los que no.<\/p>\n
En cualquier caso, puesto que hay dos rectas, necesitamos que dos puntos est\u00e9n en una recta, y otro en otra.<\/p>\n
De los que no contienen el de intersecci\u00f3n, tenemos 10\u00b79\/2 = 45 formas de escoger un par de puntos de una recta (10 formas de elegir el primero y 9 del segundo, pero como podemos elegirlos en un orden o en otro, dividimos por 2) y 10 formas de elegir el otro, por lo que tenemos 450 tri\u00e1ngulos con dos puntos en una recta y uno en otra. Puesto que podr\u00edamos tener una cantidad id\u00e9ntica cambiando de recta, tenemos un total de 900 tri\u00e1ngulos.<\/p>\n
Si contiene la intersecci\u00f3n, debemos elegir un punto en cada una de las dos rectas, es decir, que tendremos 10\u00b710 = 100 formas de elegirlos.<\/p>\n
En total, 900 + 100 = 1000 tri\u00e1ngulos diferentes.<\/p>\n
Si utilizamos la otra aproximaci\u00f3n, hay que contar cu\u00e1ntos conjuntos de tres puntos diferentes podemos hacer, y descontar los alineados.<\/p>\n
El n\u00famero total de conjuntos de tres puntos ser\u00eda 21\u00b720\u00b719\/(3\u00b72) = 7\u00b710\u00b719 = 1330.<\/p>\n
La cantidad de conjuntos de tres puntos alineados sobre una de las rectas ser\u00eda 11\u00b710\u00b79\/(3\u00b72) = 11\u00b75\u00b73 = 165, pero como son dos rectas habr\u00e1 un total de 165 + 165 = 330 conjuntos alineados, lo que deja un total de 1330 \u2013 330 = 1000 tri\u00e1ngulos diferentes con esas condiciones.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Problema 2 de la Olitele (Olimpiada Telem\u00e1tica de Catalu\u00f1a) 2017 Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Disponemos de 21 puntos, de forma que hay 11 en una recta y 11 en otra (uno de ellos est\u00e1 en la intersecci\u00f3n). \u00bfCu\u00e1ntos tri\u00e1ngulos podemos trazar cuyos v\u00e9rtices sean tres de esos puntos? Si los tres […]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1738,2242014,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-353","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiadas","category-olitele","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/353","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=353"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/353\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":355,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/353\/revisions\/355"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=353"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=353"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=353"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}