{"id":3531,"date":"2025-02-28T19:45:27","date_gmt":"2025-02-28T19:45:27","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3531"},"modified":"2025-02-28T19:45:29","modified_gmt":"2025-02-28T19:45:29","slug":"solucion-a-funciones-que-cumplen-una-igualdad","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2025\/02\/28\/solucion-a-funciones-que-cumplen-una-igualdad\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a &#8220;Funciones que cumplen una igualdad&#8221;"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 6 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas (2025)\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os\n<\/pre>\n\n\n<p>Encuentra todas las funciones f : (0, +\u221e) \u2192 (0, +\u221e) que cumplen, para x, y &gt; 0 cualesquiera, la igualdad siguiente:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">f(x\u00b7f(y))) = f(x\u00b7y) + x<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"300\" height=\"300\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2025\/02\/375.Funcion.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3529\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Soluci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n<!--more-->\n\n\n\n<p>Primero hay que entender qu\u00e9 significa lo que nos propone el problema.<\/p>\n\n\n\n<p>Tenemos que encontrar una funci\u00f3n que s\u00f3lo act\u00faa sobre los n\u00fameros reales positivos y devuelve valores reales positivos.<\/p>\n\n\n\n<p>Y esta funci\u00f3n debe cumplir una igualdad muy sencilla, pero para todos los posibles juegos de valores que tengamos.<\/p>\n\n\n\n<p>Puesto que aparece una multiplicaci\u00f3n, podemos tratar de ver qu\u00e9 sucede si x = 1. La igualdad se queda en que f(f(y)) = f(y) + 1. Por tanto, si tenemos un elemento z que sea f(y) para alg\u00fan valor y, tendremos que f(z) = z + 1, as\u00ed que es muy probable (aunque no tengamos a\u00fan el pleno convencimiento) de que la \u00fanica funci\u00f3n que lo cumpla sea f(x) = x + 1.<\/p>\n\n\n\n<p>Supongamos ahora que x = f(z) para alg\u00fan valor z. Esto supone que f(f(z)\u00b7f(y)) = f(f(z)\u00b7y) + f(z) = f(y\u00b7f(z)) + f(z) = f(z\u00b7y) + y + f(z), pero como dar\u00eda lo mismo desarrollar al rev\u00e9s, tendr\u00edamos que f(z\u00b7y) + y + f(z) = f(z\u00b7y) + z + f(y), as\u00ed que tenemos que , sea cual sea el valor de z y de y, y + f(z) = z + f(y). Eso quiere decir que f(z) \u2013 f(y) = z \u2013 y.<\/p>\n\n\n\n<p>De esta conclusi\u00f3n, obtenemos que para cualquier x, tenemos que f(x) = x + f(1) \u2013 1, es decir, que es una recta de pendiente 1 y t\u00e9rmino independiente f(1) \u2013 1, pero es f\u00e1cil ver que esa constante debe ser 1, ya que si vale cualquier otra cosa, f(f(x)) = f(x) + 1 = f(x) + c, con lo que c debe valer 1.<\/p>\n\n\n\n<p>As\u00ed, cualquier funci\u00f3n que cumpla el enunciado, debe ser f(x) = x + 1.<\/p>\n\n\n\n<p>Pero queda por ver que esta funci\u00f3n lo cumple, as\u00ed que veamos la relaci\u00f3n f(x\u00b7f(y))) = f(x\u00b7y) + x.<\/p>\n\n\n\n<p>f(x\u00b7f(y))) = x\u00b7f(y) + 1 = x\u00b7(y + 1) + 1 = x\u00b7y + x + 1.<\/p>\n\n\n\n<p>f(x\u00b7y) + x = x\u00b7y + 1 + x.<\/p>\n\n\n\n<p>Luego realmente s\u00ed lo cumple. Existe la funci\u00f3n, por tanto, y tambi\u00e9n podemos afirmar que es \u00fanica.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 6 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Encuentra todas las funciones f : (0, +\u221e) \u2192 (0, +\u221e) que cumplen, para x, y &gt; 0 cualesquiera, la igualdad siguiente: f(x\u00b7f(y))) = f(x\u00b7y) + x Soluci\u00f3n:<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242021,1738,2242029,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-3531","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiada-matematica-espanola","category-olimpiadas","category-ome","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3531","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3531"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3531\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3533,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3531\/revisions\/3533"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3531"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3531"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3531"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}