{"id":3538,"date":"2025-03-08T08:55:10","date_gmt":"2025-03-08T08:55:10","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3538"},"modified":"2025-03-31T18:54:06","modified_gmt":"2025-03-31T18:54:06","slug":"solucion-a-funcion-escondida","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2025\/03\/08\/solucion-a-funcion-escondida\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a &#8220;Funci\u00f3n escondida&#8221;"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 2 de la Fase Provincial de la Olimpiada de Matem\u00e1ticas de la Comunidad Valenciana(2024)\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os\n<\/pre>\nSea f(x) una funci\u00f3n real de variable real que cumple la siguiente igualdad para cualquier x:\n\n<!-- \/wp:post-content -->\n\n<!-- wp:paragraph -->\n\nf(x) + f(1\/(1 \u2013 x)) = x\n\n<!-- \/wp:paragraph -->\n\n<!-- wp:paragraph -->\n\nEncuentra f(x).\n\n<!-- \/wp:paragraph -->\n\n<!-- wp:image {\"id\":3536,\"sizeSlug\":\"full\",\"linkDestination\":\"none\"} -->\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"300\" height=\"300\" class=\"wp-image-3536\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2025\/02\/376.Funcion.png\" alt=\"\" \/><\/figure>\n<!--more-->\n\nEmpiezo diciendo que este problema me parece muy complicado para el nivel propuesto. Ser\u00eda tal vez m\u00e1s adecuado para un nivel de bachillerato.\n\nNormalmente podemos empezar con valores concretos, para ver si obtenemos alg\u00fan n\u00famero que nos proporcione alguna pista.\n\nEn concreto, vemos que f(2) + f(-1) = 2.\n\nProbando un poco m\u00e1s, nos encontramos que f(-1) + f(1\/2) = -1.\n\nY teniendo esto en cuenta, vemos que f(1\/2) + f(2) = 1\/2, lo que nos puede animar a hacer un sistema y obtener el valor de esos tres puntos. Si restamos a la primera igualdad la segunda, y le sumamos la tercera, tendremos que 2f(2) = 7\/2, de forma que f(2) = 7\/4, y tambi\u00e9n podemos determinar f(-1) y f(1\/2).\n\nLo hecho hasta ahora nos puede dar una idea para proceder en general, ya que esforz\u00e1ndonos un poco vemos que tambi\u00e9n podemos obtener por un sistema similar cualquier valor.\n\nAhora, lo podemos hacer en general.\n\nAs\u00ed, sabemos que f(x) + f(1\/(1 \u2013 x)) = x.\n\nPor otra parte, si ponemos 1\/(1 \u2013 x) donde est\u00e1 x, tenemos que 1\/(1 \u2013 1\/(1 \u2013 x)) = (1 \u2013 x)\/(1 \u2013 x \u2013 1) = (1 \u2013 x)\/(-x) = (x \u2013 1)\/x, y se debe cumplir que: f(1\/(1 \u2013 x)) + f((x \u2013 1)\/x) = 1\/( 1 \u2013 x).\n\nPor \u00faltimo, si volvemos a poner (x \u2013 1)\/x en el lugar que inicialmente ocupaba la x, la otra variable sobre la que act\u00faa la f ser\u00e1 1\/(1 &#8211; (x \u2013 1)\/x), y, multiplicando por x numerador y denominador en esta expresi\u00f3n, tenemos que es igual a x\/(x \u2013 (x \u2013 1)) = x. Por tanto, se debe cumplir que f((x \u2013 1)\/x) + f(x) = (x \u2013 1)\/x.\n\nEn resumidas cuentas, tenemos estas tres igualdades:\nf(x) + f(1\/(1 \u2013 x)) = x\nf(1\/(1 \u2013 x)) + f((x \u2013 1)\/x) = 1\/( 1 \u2013 x)\n((x \u2013 1)\/x) + f(x) = (x \u2013 1)\/x\n\nCambiando el signo de la igualdad segunda, y sumando, tenemos que: 2f(x) = x + 1\/(x \u2013 1) + (x \u2013 1)\/x.\n\nPor lo tanto, igual que hemos hecho con el 2 inicialmente, tenemos que f(x) = x\/2 + 1\/(2x \u2013 2) + (x \u2013 1)\/(2x), o sumando las tres fracciones, f(x) = (x\u00b3 \u2013 x + 1)\/(2x(x \u2013 1)).\n\nEn realidad, deber\u00edamos asegurarnos que se cumple la relaci\u00f3n indicada, pero eso llevar\u00eda mucho tiempo, especialmente por el c\u00e1lculo de f(1\/(1 \u2013 x)), ya que habr\u00eda que sustituir cada una de las variables x y simplificar para asegurarse que, tras sumarlo a f(x) da efectivamente x. Yo lo he comprobado y as\u00ed es, pero lleva bastante trabajo, porque en la f\u00f3rmula de f(x) habr\u00eda que cambiar la x por 1\/(1 \u2013 x), y simplificar.\n\nVeamos c\u00f3mo se simplifican las fracciones sencillas que hemos calculado previamente:\nLa fracci\u00f3n x\/2 pasar\u00eda a ser 1\/(2(1 \u2013 x)) = -1\/(2x \u2013 2).\nLa expresi\u00f3n 1\/(2x \u2013 2) pasar\u00eda a ser 1\/(2\/(1 \u2013 x) \u2013 2) = (1 \u2013 x)\/(2 \u2013 (2 \u2013 2x)) = (1 \u2013 x)\/2x.\nPor \u00faltimo, la expresi\u00f3n (x \u2013 1)\/2x pasar\u00eda a ser (1\/(1 \u2013 x) \u2013 1)\/(2\/(1 \u2013 x)) = (1 \u2013 1 + x)\/2 = x\/2.\n\nEn resumidas cuentas, f(1\/(1 \u2013 x) = -1\/(2x \u2013 2) + (1 \u2013 x)\/2x + x\/2.\n\nSi sumamos f(x) + f(1\/(1 \u2013 x) = x\/2 + 1\/(2x \u2013 2) + (x \u2013 1)\/(2x) \u2013 1\/(2x \u2013 2) + (1 \u2013 x)\/2x + x\/2 = x\/2 + x\/2 = x, por lo que en efecto cumple la relaci\u00f3n pedida.\n\n<!-- \/wp:image -->\n\n<!-- wp:paragraph -->\n\n<!-- \/wp:paragraph -->","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 2 de la Fase Provincial de la Olimpiada de Matem\u00e1ticas de la Comunidad Valenciana(2024) Se dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os Sea f(x) una funci\u00f3n real de variable real que cumple la siguiente igualdad para cualquier x: f(x) + f(1\/(1 \u2013 x)) = x Encuentra f(x).<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242028,2242020,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-3538","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-comunidadvalenciana","category-olimpiada-de-la-comunidad-valenciana","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3538","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3538"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3538\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3563,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3538\/revisions\/3563"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3538"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3538"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3538"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}