{"id":3546,"date":"2025-03-15T08:02:17","date_gmt":"2025-03-15T08:02:17","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3546"},"modified":"2025-03-15T08:02:18","modified_gmt":"2025-03-15T08:02:18","slug":"solucion-a-ecuacion-diofantica-3","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2025\/03\/15\/solucion-a-ecuacion-diofantica-3\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a &#8220;Ecuaci\u00f3n diof\u00e1ntica&#8221;"},"content":{"rendered":"<pre>\nProblema 7 de la Fase Local de la Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola (2025)\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os\n<\/pre>\n\n\n<p>Halla todos los n\u00fameros enteros a y b que satisfacen la ecuaci\u00f3n siguiente:<\/p>\n\n\n\n<p>a(a\u00b2 + b\u00b2) + 7 = 5a\u00b2 + 3b\u00b2<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"300\" height=\"300\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2025\/03\/377.Diofantica.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3544\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Soluci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n<!--more-->\n\n\n\n<p>Si convertimos la igualdad en un polinomio, tenemos un polinomio de tercer grado en a: a\u00b3 \u2013 5a\u00b2 + ab\u00b2 + 7 \u2013 3b\u00b2 = 0.<\/p>\n\n\n\n<p>Puesto que b\u00b2 es un factor de dos t\u00e9rminos, podemos reescribirlo como a\u00b3 \u2013 5a\u00b2 + b\u00b2(a \u2013 3) + 7 = 0.<\/p>\n\n\n\n<p>Si a es mayor que 5, los primeros dos sumandos son claramente positivos, y tambi\u00e9n el tercero, as\u00ed que no se puede dar la ecuaci\u00f3n. Si a es menor que cero, todos los t\u00e9rminos son negativos, menos el 7, y claramente el valor absoluto de esos t\u00e9rminos es mayor que 7, as\u00ed que tampoco va a dar cero.<\/p>\n\n\n\n<p>El caso a = 0 se descarta r\u00e1pidamente, ya que 7 no puede ser 3b\u00b2.<\/p>\n\n\n\n<p>El resto de casos se pueden ir probando paso a paso, a = 1, a = 2, a = 3, a = 4 y a = 5. Quedan ecuaciones de segundo grado en todos los casos, y las \u00fanicas dos soluciones son a = 4, b = 3 y a = 4 y b = -3.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 7 de la Fase Local de la Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Halla todos los n\u00fameros enteros a y b que satisfacen la ecuaci\u00f3n siguiente: a(a\u00b2 + b\u00b2) + 7 = 5a\u00b2 + 3b\u00b2 Soluci\u00f3n:<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242021,1738,2242029,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-3546","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiada-matematica-espanola","category-olimpiadas","category-ome","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3546","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3546"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3546\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3547,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3546\/revisions\/3547"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3546"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3546"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3546"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}