{"id":3554,"date":"2025-03-22T16:16:30","date_gmt":"2025-03-22T16:16:30","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3554"},"modified":"2025-03-22T16:16:31","modified_gmt":"2025-03-22T16:16:31","slug":"solucion-a-tres-numeros","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2025\/03\/22\/solucion-a-tres-numeros\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a “Tres n\u00fameros”"},"content":{"rendered":"
\nProblema 8 de la Fase Local de la Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola (2025)\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os\n<\/pre>\n\n\n
Consideramos una lista con los n\u00fameros 0, 1 y ra\u00edz(3).<\/p>\n\n\n\n
De forma sucesiva, se va aplicando la siguiente operaci\u00f3n: se escoge uno de los tres n\u00fameros de la lista y se le a\u00f1ade un m\u00faltiplo racional arbitrario de la diferencia entre los otros dos.<\/p>\n\n\n\n
Repitiendo este proceso, \u00bfes posible conseguir que los tres n\u00fameros de la lista sean 0, ra\u00edz(3) \u2212 1 y ra\u00edz(3) + 1?<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
Soluci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
Se trata esta vez de un problema m\u00e1s complejo de lo que parece.<\/p>\n\n\n\n
Si trasteamos un poco seg\u00fan nos dice el enunciado, es r\u00e1pido ver que los tres n\u00fameros acabar\u00e1n siendo de la forma a + b\u00b7ra\u00edz(3) para alg\u00fan b.<\/p>\n\n\n\n
La idea es que probemos qu\u00e9 valores de a y b son v\u00e1lidos, y qu\u00e9 tipo de transformaci\u00f3n ocurre en cada momento, ya que si hay alg\u00fan invariante (algo que despu\u00e9s de la transformaci\u00f3n permanece constante), entonces podemos encontrar una forma de llegar lo m\u00e1s cerca posible, o bien demostrar que no es posible.<\/p>\n\n\n\n
Por tanto escribamos los tres n\u00fameros de la forma (a, b), con a y b n\u00fameros racionales, y podemos representarlos todo el rato con este formato.<\/p>\n\n\n\n
Inicialmente empezamos con (0,0), (1,1), (0,1), y la idea es que las transformaciones (por ejemplo, sumar a (1,0) \u2154 de la diferencia), los convierten en otras coordenadas, como (0,0), (1,2\/3), (0,1).<\/p>\n\n\n\n
Si pensamos en coordenadas, sumar a un n\u00famero un m\u00faltiplo de la diferencia de dos, es un vector que tiene la misma direcci\u00f3n, es decir, que el punto al que sumamos lo estamos llevando en la direcci\u00f3n del vector que forman los otros dos.<\/p>\n\n\n\n
Vemos un ejemplo gr\u00e1fico.<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
Es un poco rebuscado, pero podemos ver que pasamos del tri\u00e1ngulo inicial (l\u00ednea continua) a un segundo tri\u00e1ngulo formado por una l\u00ednea continua y dos discontinuas, y luego a otro formado por una l\u00ednea discontinua y dos de puntitos.<\/p>\n\n\n\n
Y esos tres tri\u00e1ngulos tienen una cosa en com\u00fan: el \u00e1rea, ya que hay un lado (que puede hacer de base, y el v\u00e9rtice se desplaza de forma paralela a esa base, es decir, la altura no var\u00eda).<\/p>\n\n\n\n
Incluso se puede conseguir una f\u00f3rmula para ese \u00e1rea, y comprobar que al sumar no var\u00eda. Aplicando, por ejemplo,  el producto vectorial, podr\u00edamos determinar que el \u00e1rea del tri\u00e1ngulo (a, b), (c, d), (h, e) ser\u00eda (abs(ad + ce + bh \u2013 ae \u2013 bc \u2013 dh))\/2. Si sumamos a uno de ellos, por ejemplo a (a, b), x por la diferencia de (c, d) menos (h, e), tendr\u00edamos (a + x(c \u2013 h), b + x(d \u2013 e)), y el \u00e1rea de los tres ser\u00eda abs((ad + xd(c \u2013 h) + ce + bh + xh(d \u2013 e) \u2013 ae \u2013 xe(c \u2013 h) \u2013 bc \u2013 xc(d \u2013 e) \u2013 dh))\/2 = abs((ad + xdc \u2013 xdh + ce + bh + xhd \u2013 xhe \u2013 ae \u2013 xec + xeh \u2013 bc \u2013 xcd + xce \u2013 dh))\/2 = abs((ad + ce + bh \u2013 ae \u2013 bc \u2013 dh))\/2, que es el \u00e1rea inicial. Por tanto, en efecto, es un invariante.<\/p>\n\n\n\n
Ni siquiera ser\u00eda imprescindible hablar de \u00e1reas, podr\u00edamos dar la f\u00f3rmula, y demostrar que es un invariante.<\/p>\n\n\n\n
El caso es que, puesto que inicialmente nuestro tri\u00e1ngulo tiene \u00e1rea \u00bd, es f\u00e1cil ver que TODAS las ternas de n\u00fameros que podemos conseguir formar\u00e1n, en esas coordenadas, un tri\u00e1ngulo de \u00e1rea \u00bd.<\/p>\n\n\n\n
Sin embargo, el tri\u00e1ngulo al que queremos llegar (0,0), (-1,1) y (1, 1) tiene \u00e1rea 1, por lo que es imposible conseguirlo.<\/p>\n\n\n\n
Si hubiesen elegido un estado final de \u00e1rea \u00bd, f\u00e1cilmente podr\u00edamos haber encontrado un m\u00e9todo de poner uno de los puntos sobre la l\u00ednea de la base, luego el otro, y llevar el tercero a la posici\u00f3n adecuada, es decir, nos habr\u00eda permitido crear una estrategia para resolver el problema.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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