{"id":3568,"date":"2025-04-12T08:13:09","date_gmt":"2025-04-12T08:13:09","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3568"},"modified":"2025-04-12T08:13:10","modified_gmt":"2025-04-12T08:13:10","slug":"solucion-a-propiedad-del-ortocentro","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2025\/04\/12\/solucion-a-propiedad-del-ortocentro\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a “Propiedad del ortocentro”"},"content":{"rendered":"
Problema 9 de la Fase Local de la Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola (2025)\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n\n\n
Sea ABC un tri\u00e1ngulo acut\u00e1ngulo cuyos lados tienen longitudes a, b y c, y sea S el \u00e1rea del tri\u00e1ngulo.<\/p>\n\n\n\n
Sea P un punto interior del tri\u00e1ngulo de forma que a\u00b7|PA| + b\u00b7|PB| + c\u00b7|PC| = 4S.<\/p>\n\n\n\n
Demuestra que P es el ortocentro del tri\u00e1ngulo ABC.<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
Soluci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
Un problema de geometr\u00eda muy interesante, puesto que no me encuentro a menudo con propiedades del ortocentro.<\/p>\n\n\n\n
La idea central es probar que esta propiedad la cumple el ortocentro, y s\u00f3lo el ortocentro, pero lo podemos hacer de varias formas.<\/p>\n\n\n\n
Hay dos enfoques muy diferentes. En uno de ellos, se trata de buscar propiedades del ortocentro que nos permitan llegar a estas conclusiones.<\/p>\n\n\n\n
\u00bfPor qu\u00e9 las tres alturas se cortan en un punto, si no tienen ninguna propiedad (aparentemente) de simetr\u00eda que les obligue a coincidir de esa manera? La respuesta es que s\u00ed que la tienen. Si duplicamos el lado del tri\u00e1ngulo y lo reflejamos, de forma que el tri\u00e1ngulo original aparezca inscrito en el nuevo (mira la imagen), las alturas son perpendiculares a los lados por el punto central, es decir, son mediatrices, y se cortan porque cada uno de sus puntos est\u00e1 a la misma distancia de los v\u00e9rtices, es decir, se cortan en el circuncentro.<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
Ahora, \u00bfqu\u00e9 relaci\u00f3n tiene esto con el \u00e1rea? Pues el nuevo tri\u00e1ngulo tiene un \u00e1rea de 4 veces el \u00e1rea original, por ser semejante con una escala lineal de 2.<\/p>\n\n\n\n
Y si divides el \u00e1rea en tres fragmentos usando ese punto y las l\u00edneas que lo unen con los v\u00e9rtices, el \u00e1rea queda dividida en tres partes, cada una de las cuales es un tri\u00e1ngulo. Por lo que el \u00e1rea ser\u00e1 el producto de la altura sobre la base de ese punto (que en el anterior tri\u00e1ngulo ser\u00eda la distancia al v\u00e9rtice) por el lado, partido entre dos. Pero el lado partido por dos es el antiguo lado, as\u00ed que ser\u00eda equivalente al valor pedido.<\/p>\n\n\n\n
Por otro lado, si tomamos cualquier otro punto, las distancias a los antiguos v\u00e9rtices multiplicadas por los antiguos lados ser\u00edan mayores que sus alturas sobre los nuevos lados multiplicadas por los nuevos lados partidos por dos, es decir, el resultado ser\u00eda mayor necesariamente que el \u00e1rea total del tri\u00e1ngulo, es decir, mayor que el valor 4S del problema.<\/p>\n\n\n\n
Con lo que el \u00fanico punto que cumple la igualdad es el ortocentro.<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
El otro enfoque consiste en utilizar geometr\u00eda algebraica, y ver que el ortocentro es el \u00fanico punto que cumple esta curiosa propiedad. Sin embargo, no he conseguido encontrar una explicaci\u00f3n algebraica que sea clara, lamentablemente.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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