{"id":3600,"date":"2025-05-18T17:12:55","date_gmt":"2025-05-18T17:12:55","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3600"},"modified":"2025-05-25T08:08:33","modified_gmt":"2025-05-25T08:08:33","slug":"solucion-a-un-poligono-muy-especial","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2025\/05\/18\/solucion-a-un-poligono-muy-especial\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a “Un pol\u00edgono muy especial”"},"content":{"rendered":"
Problema 3 del concurso Marat\u00f3 de problemes 2025\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os<\/pre>\n\n\n
Sobre una circunferencia se han marcado 20 puntos P1, P2, \u2026 P20, siguiendo, en el orden indicado por los puntos, el sentido de las agujas del reloj.<\/p>\n\n\n\n
Se ha hecho de manera que:<\/p>\n\n\n\n
El arco que une P1 y P2 mide 1 unidad.<\/p>\n\n\n\n
El arco que une P2 y P3 mide 2 unidades.<\/p>\n\n\n\n
Y as\u00ed sucesivamente, el arco que une el punto Pn con el punto Pn+1, para n = 1, \u2026, 19 mide n unidades.<\/p>\n\n\n\n
La circunferencia tiene el radio adecuado para que finalmente se complete exactamente la circunferencia: se cumple que el segmento que une P20 con P1 mide exactamente 20 unidades.<\/p>\n\n\n\n
Determina todas las parejas de puntos marcados sobre la circunferencia con la propiedad de que el segmento que los une es un di\u00e1metro de la circunferencia.<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
Soluci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
El primer paso es calcular cuantos segmentos de longitud 1 debe haber en esa circunferencia, que ser\u00e1 el equivalente de sumar 1 + 2 + \u2026 + 20 = 210, por lo que la circunferencia mide 210 unidades de longitud.<\/p>\n\n\n\n
Al unir dos de esos v\u00e9rtices, si la diagonal pasa por el centro de la circunferencia, debe separar dos partes de forma que sume exactamente la mitad, es decir, 105. Una de las dos partes no contendr\u00e1 al punto P1, as\u00ed que esa estar\u00e1 formada por q n\u00fameros consecutivos k, k + 1, \u2026 k + q \u2013 1, y sumar\u00e1n 105.<\/p>\n\n\n\n
Ahora, tenemos una f\u00f3rmula que nos permite sumar los q n\u00fameros consecutivos, que en este caso ser\u00eda (k + k + q \u2013 1)\u00b7q\/2, y esa suma debe dar 105, luego (2k + q \u2013 1)q = 210.<\/p>\n\n\n\n
Otra cosa que debe pasar es que esos dos n\u00fameros tienen que tener diferente paridad, es decir, uno debe ser par y otro impar, y q debe estar entre 1 y 20.<\/p>\n\n\n\n
Una vez determinado el valor de q, podemos calcular el valor de k con el otro factor, ya que 2k + q \u2013 1 = 210\/q, por lo que 2k = 210\/q + 1 \u2013 q y por tanto k = 105\/q + (1 \u2013 q)\/2. Y k deber\u00eda dar un n\u00famero entre 1 y 20 tambi\u00e9n.<\/p>\n\n\n\n
Sencillamente, probando cu\u00e1ntos divisores tiene 210 que cumplan esas condiciones, encontramos s\u00f3lo 3 v\u00e1lidos.<\/p>\n\n\n\n
Evidentemente, 1, 2 y 3 son demasiado peque\u00f1os y dan un resultado demasiado grande para k.<\/p>\n\n\n\n
Para q = 5 tenemos k = 19, que es imposible debido a que 19 + 5 \u2013 1 ser\u00eda mayor que 20.<\/p>\n\n\n\n
Para q = 6, tenemos k = 15, que es el primer resultado posible. As\u00ed, vemos que la suma del 15 al 20 da 105.<\/p>\n\n\n\n
Para q = 7, tenemos k = 12, que tambi\u00e9n es posible, la suma del 12 al 18 de nuevo da 105.<\/p>\n\n\n\n
Para q = 10, tenemos k = 6, que tambi\u00e9n es posible, ya que al sumar del 6 al 15 da 105.<\/p>\n\n\n\n
El siguiente divisor es 15, que ya da un valor de k = 0, que es imposible, y divisores mayores dar\u00e1n valores de k negativos.<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
Por tanto, estas tres parejas de puntos ser\u00e1n las diagonales que pasar\u00e1n por el centro: P15 – P1, P12 – P19 y P6 – P16.<\/p>\n\n\n\n
He corregido los puntos, que estaban bien en el dibujo, pero mal escritos, gracias a un mensaje de un lector recibido.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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