{"id":3610,"date":"2025-06-07T06:45:02","date_gmt":"2025-06-07T06:45:02","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3610"},"modified":"2025-06-07T06:45:04","modified_gmt":"2025-06-07T06:45:04","slug":"solucion-a-dos-rectangulos-y-un-area","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2025\/06\/07\/solucion-a-dos-rectangulos-y-un-area\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a “Dos rect\u00e1ngulos y un \u00e1rea”"},"content":{"rendered":"
\nProblema 4 del concurso Marat\u00f3 de problemes 2025\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os\n<\/pre>\n\n\n
En una hoja cuadriculada, en la cual cada cuadrado suponemos que tiene una superficie de 1 cm\u00b2, hemos dibujado dos rect\u00e1ngulos, de lados paralelos y que tienen un v\u00e9rtice en com\u00fan.<\/p>\n\n\n\n
Entre los lados del peque\u00f1o y del grande que no se superponen hay una franja de un cuadrado de ancho.<\/p>\n\n\n\n
La siguiente figura lo muestra:<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
Trazamos la diagonal del rect\u00e1ngulo grande, que une los dos v\u00e9rtices enfrentados que no coinciden con el peque\u00f1o, y esa diagonal determina un tri\u00e1ngulo en el rect\u00e1ngulo peque\u00f1o.<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
\u00bfCu\u00e1l es el valor exacto del \u00e1rea de este tri\u00e1ngulo peque\u00f1o?<\/p>\n\n\n\n
Soluci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
Podemos hacer f\u00e1cilmente el c\u00e1lculo del tama\u00f1o de los segmentos mediante el uso de proporciones, o usar las ecuaciones de la recta para conocer los tama\u00f1os precisos.<\/p>\n\n\n\n
En el primer caso, por semejanza, vemos que el tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo que forma la diagonal con el tri\u00e1ngulo grande tiene un tama\u00f1o de catetos de 3 (vertical) y 4 (horizontal).<\/p>\n\n\n\n
Es evidente que hay un par de tri\u00e1ngulos semejantes que se forman en ambas tiras de 1 cuadrado de anchura.<\/p>\n\n\n\n
En el dibujo, el de abajo a la izquierda, tendr\u00e1 un cateto vertical de 1, por lo que su cateto horizontal tendr\u00e1 un tama\u00f1o de 4\/3.<\/p>\n\n\n\n
El de arriba a la derecha, tendr\u00e1 un cateto horizontal de 1, por lo que su cateto vertical medir\u00e1 \u00be.<\/p>\n\n\n\n
Como esos dos segmentos los quitamos del lado del rect\u00e1ngulo peque\u00f1o, podemos saber lo que miden los dos catetos, el vertical 2 \u2013 \u00be = 5\/4 y el horizontal mide 3 \u2013 4\/3 = 5\/3.<\/p>\n\n\n\n
Evidentemente, ese nuevo tri\u00e1ngulo mantiene las proporciones con el original, ya que (5\/3)\/(5\/4) = 4\/3.<\/p>\n\n\n\n
Pero nosotros queremos el \u00e1rea, que ser\u00e1 (5\/3)\u00b7(5\/4)\/2 = 25\/24 unidades, en este caso 25\/24 cent\u00edmetros cuadrados.<\/p>\n\n\n\n
Con ecuaciones de rectas, podemos poner para m\u00e1s facilidad los ejes en la esquina izquierda inferior.<\/p>\n\n\n\n
El lado horizontal del rect\u00e1ngulo peque\u00f1o tendr\u00e1 la ecuaci\u00f3n y = 1, y la diagonal, que pasa por el punto (0,0) y (4, 3), la ecuaci\u00f3n 3x \u2013 4y = 0. Haciendo un sistema, vemos que se cortan en el punto (4\/3, 1) y por tanto el lado horizontal del tri\u00e1ngulo va desde este punto al (3, 1), tiene una distancia de 3 \u2013 4\/3 = 5\/3.<\/p>\n\n\n\n
El lado vertical del rect\u00e1ngulo tiene la ecuaci\u00f3n x = 3, y al cortarlo con 3x \u2013 4y = 0 tenemos el punto (3, 9\/4), cuya distancia al (3, 1) ser\u00e1 9\/4 \u2013 1 = 5\/4.<\/p>\n\n\n\n
A partir de aqu\u00ed el razonamiento ser\u00e1 exactamente el mismo.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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