{"id":3616,"date":"2025-06-17T11:20:53","date_gmt":"2025-06-17T11:20:53","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3616"},"modified":"2025-06-17T11:23:38","modified_gmt":"2025-06-17T11:23:38","slug":"solucion-a-muchos-divisores","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2025\/06\/17\/solucion-a-muchos-divisores\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a &#8220;Muchos divisores&#8221;"},"content":{"rendered":"<pre>\nProblema 5 del concurso Marat\u00f3 de problemes 2025\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os\n<\/pre>\n\n\n<p>\u00bfCu\u00e1ntos n\u00fameros son divisores del n\u00famero 78\u2079\u2079 o del n\u00famero 786\u2079\u2079\u2079 o de ambos?<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"300\" height=\"300\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2025\/06\/385.divisores.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3614\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Soluci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n<!--more-->\n\n\n\n<p>Para calcular el n\u00famero de divisores una de las formas m\u00e1s c\u00f3modas es ver su descomposici\u00f3n en factores primos, que son las piezas m\u00e1s simples que lo forman.<\/p>\n\n\n\n<p>La de 78 es 2\u00b73\u00b713, por lo que el primer n\u00famero es 99 factores 2, 99 factores 3 y 99 factores 13.<\/p>\n\n\n\n<p>La descomposici\u00f3n de 786 es 2\u00b73\u00b7131, por lo que el segundo es 999 factores 2, 999 factores 3 y 999 factores 131.<\/p>\n\n\n\n<p>Para contar los divisores totales voy a contar todos los de el primer n\u00famero, todos los del segundo, y luego voy a quitar todos los que lo sean de ambos, que los habremos contado dos veces.<\/p>\n\n\n\n<p>Los del primer n\u00famero ser\u00e1n un total de 100\u00b7100\u00b7100 = 1 000 000 (un mill\u00f3n).<\/p>\n\n\n\n<p>Los del segundo n\u00famero ser\u00e1n un total de 1000\u00b71000\u00b71000 = 1 000 000 000 (mil millones).<\/p>\n\n\n\n<p>Ahora, el m\u00e1ximo com\u00fan divisor de ambos n\u00fameros es claramente 2 elevado a 99 por 3 elevado a 99, que tiene nada menos que 100\u00b7100 divisores, 10 000. Todos ellos se habr\u00e1n contado en ambas ocasiones.<\/p>\n\n\n\n<p>Que cumplan las condiciones del problema ser\u00e1n por tanto: 1 000 990 000 (mil millones novecientos noventa mil).<\/p>\n\n\n\n<p>Aclaraci\u00f3n. Si un n\u00famero es producto de un cierto n\u00famero a de veces de un n\u00famero primo por un cierto n\u00famero b de veces de otro primo diferente, sus divisores estar\u00e1n formados por potencias del primero por el segundo, que puede ser desde la potencia cero al n\u00famero a en el primero y del cero al b en el segundo, por lo que el n\u00famero de divisores ser\u00e1 (a + 1)(b + 1).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 5 del concurso Marat\u00f3 de problemes 2025 Se dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os \u00bfCu\u00e1ntos n\u00fameros son divisores del n\u00famero 78\u2079\u2079 o del n\u00famero 786\u2079\u2079\u2079 o de ambos? Soluci\u00f3n:<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242030,2242026,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-3616","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-marato","category-marato-de-problemes","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3616","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3616"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3616\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3619,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3616\/revisions\/3619"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3616"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3616"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3616"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}