{"id":3626,"date":"2025-06-21T19:24:42","date_gmt":"2025-06-21T19:24:42","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3626"},"modified":"2025-06-21T19:24:43","modified_gmt":"2025-06-21T19:24:43","slug":"solucion-a-la-eleccion-de-delegados","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2025\/06\/21\/solucion-a-la-eleccion-de-delegados\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a “La elecci\u00f3n de delegados”"},"content":{"rendered":"
Problema 6 del concurso Marat\u00f3 de problemes 2025\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os<\/pre>\n\n\n
Los estudiantes de un grupo de ESO votan para elegir delegados.<\/p>\n\n\n\n
Se presentan tres estudiantes, Ariadna, Berta y Carla, y la tutora decide el siguiente sistema de votaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n
Cada persona que participa en la votaci\u00f3n ha de hacer constar su preferencia entre las tres candidatas orden\u00e1ndolas primera, segunda o tercera.<\/p>\n\n\n\n
La primera recibe 1 punto, la segunda 2 puntos y la tercera 4 puntos.<\/p>\n\n\n\n
La ganadora ser\u00e1 la que reciba la puntuaci\u00f3n m\u00e1s baja, naturalmente.<\/p>\n\n\n\n
Despu\u00e9s de hacer el recuento de la votaci\u00f3n, en la que se comprob\u00f3 que todas las papeletas cumpl\u00edan la normativa, el resultado fue:<\/p>\n\n\n\n
Ariadna fue la estudiante con menor puntuaci\u00f3n, 44 puntos, y eso que s\u00f3lo 4 estudiantes la pusieron como primera opci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n
Berta fue la segunda clasificada con 45 puntos. Fue la que m\u00e1s veces de las tres apareci\u00f3 como primera opci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n
Carla, que qued\u00f3 en tercer lugar con 51 puntos, fue la que m\u00e1s gente puso como tercera opci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n
Determina en cu\u00e1ntas papeletas qued\u00f3 Berta en primera opci\u00f3n, en cu\u00e1ntas en segunda opci\u00f3n y en cu\u00e1ntas en la tercera posici\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
Soluci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
Tuve m\u00e1s dificultades de las previstas para resolver el problema, porque no ve\u00eda claras ciertas relaciones entre las variables y parec\u00eda tener varias soluciones, hasta que me di cuenta de un detalle.<\/p>\n\n\n\n
Lo primero que debemos hacer es calcular cu\u00e1ntos votos hubo, que es bastante f\u00e1cil, ya que cada voto concede 1 + 2 + 4 = 7 puntos, y el total de puntos es 44 + 45 + 51 = 140, por lo que hubo 20 electores.<\/p>\n\n\n\n
Sabemos que Ariadna obtuvo 4 puntos en primera opci\u00f3n, por lo que los otros 40 se reparten de forma que 40 = 2a2 + 4a3, donde a2 es el n\u00famero de papeletas en que sali\u00f3 segunda opci\u00f3n y a3, el n\u00famero en que qued\u00f3 en tercera.<\/p>\n\n\n\n
Berta sabemos que fue 45 = b1 + 2b2 + 4b3, y que b1 es mayor que 4 y que c1.<\/p>\n\n\n\n
Por \u00faltimo, que 51 = c1 + 2c2 + 4c3, donde c3 es mayor que b3 y que a3.<\/p>\n\n\n\n
Teniendo en cuenta que el n\u00famero total de votos es 20, b1 + c1 = 16 (4 han ido a Ariadna), b1 + b2 + b3 = 20, y a3 + b3 + c3 = 20.<\/p>\n\n\n\n
Y hay una tercera familia de relaciones que en principio no detect\u00e9 (tuve que construir una posible soluci\u00f3n para darme cuenta) y es que, como los nombres salen exactamente en 20 papeletas, tendr\u00edamos que 20 = 4 + a2 + a3, 20 = b1 + b2 + b3, y 20 = c1 + c2 + c3.<\/p>\n\n\n\n
Tenemos que encontrar 8 variables y tenemos 9 relaciones, adem\u00e1s de una relaci\u00f3n impl\u00edcita de tipo diof\u00e1ntico (todos los valores deben ser enteros y positivos) que tal vez condicionen al final, y cuatro desigualdades.<\/p>\n\n\n\n
Son muchas relaciones, vamos a empezar por simplificarlas.<\/p>\n\n\n\n
20 = a2 + 2a3
45 = b1 + 2b2 + 4b3
51 = c1 + 2c2 + 4c3
16 = b1 + c1
20 = a2 + b2 + c2
20 = a3 + b3 + c3
16 = a2 + a3
20 = b1 + b2 + b3
20 = c1 + c2 + c3<\/p>\n\n\n\n
Ahora, usamos una de ellas para eliminar a2, por ejemplo, de todas las dem\u00e1s. Uso 16 = a2 + a3 y lo resto de aquellas que sea necesario.<\/p>\n\n\n\n
4 = a3
45 = b1 + 2b2 + 4b3
51 = c1 + 2c2 + 4c3
16 = b1 + c1
4 = b2 + c2 \u2013 a3
20 = a3 + b3 + c3
20 = b1 + b2 + b3
20 = c1 + c2 + c3<\/p>\n\n\n\n
Por tanto, a3 = 4, y tenemos que a2 en consecuencia vale 12. Introducimos este dato en las ecuaciones y simplificamos.<\/p>\n\n\n\n
45 = b1 + 2b2 + 4b3
51 = c1 + 2c2 + 4c3
16 = b1 + c1
8 = b2 + c2
16 = b3 + c3
20 = b1 + b2 + b3
20 = c1 + c2 + c3<\/p>\n\n\n\n
Ya sabemos todo lo que hay que saber sobre los votos de Ariadna, vamos a intentar eliminar c1 utilizando la relaci\u00f3n 16 = b1 + c1.<\/p>\n\n\n\n
45 = b1 + 2b2 + 4b3
35 = 2c2 + 4c3 \u2013 b1
8 = b2 + c2
16 = b3 + c3
20 = b1 + b2 + b3
4 = c2 + c3 \u2013 b1<\/p>\n\n\n\n
Ahora, eliminamos c2 utilizando 8 = b2 + c2.<\/p>\n\n\n\n
45 = b1 + 2b2 + 4b3
19 = 4c3 \u2013 b1 \u2013 2b2
16 = b3 + c3
20 = b1 + b2 + b3
4 = b2 \u2013 c3 + b1<\/p>\n\n\n\n
Vamos viendo que cada vez el n\u00famero de relaciones es menor, ahora eliminamos c3 usando 16 = b3 + c3. Todas estas relaciones que usamos las podemos recuperar m\u00e1s adelante por si necesitamos saber qu\u00e9 valores tienen c1, c2 y c3.<\/p>\n\n\n\n
45 = b1 + 2b2 + 4b3
45 = b1 + 2b2 + 4b3
20 = b1 + b2 + b3
20 = b1 + b2 + b3<\/p>\n\n\n\n
Como podemos apreciar, las dos \u00faltimas relaciones est\u00e1n repetidas, con lo que s\u00f3lo nos quedan dos relaciones con tres inc\u00f3gnitas por determinar. Vamos a utilizar esa \u00faltima relaci\u00f3n para eliminar b1, 20 = b1 + b2 + b3.<\/p>\n\n\n\n
25 = b2 + 3b3.<\/p>\n\n\n\n
Puesto que sabemos que deben ser n\u00fameros enteros entre 0 y 20, el valor de b3 debe estar entre 2 y 8.<\/p>\n\n\n\n
Veamos qu\u00e9 consecuencias tiene cada uno de ellos.<\/p>\n\n\n\n
Si b3 vale 2, b2 valdr\u00eda 19 y Berta aparecer\u00eda en demasiadas papeletas.<\/p>\n\n\n\n
Si b3 vale 3, b2 valdr\u00eda 16, b1 deber\u00eda valer 1, y no podr\u00eda ser el mayor n\u00famero entre 4, b1 y c1.<\/p>\n\n\n\n
Si b3 vale 4, b2 valdr\u00eda 13, b1 deber\u00eda valer 3, y no podr\u00eda ser el mayor n\u00famero entre 4, b1 y c1.<\/p>\n\n\n\n
Si b3 vale 5, b2 valdr\u00eda 10, b1 deber\u00eda valer 5, y no podr\u00eda ser el mayor n\u00famero entre 4, b1 y c1, ya que c1 deber\u00eda valer 11.<\/p>\n\n\n\n
Si b3 vale 6, b2 valdr\u00eda 7, b1 deber\u00eda valer 7, y no podr\u00eda ser el mayor n\u00famero entre 4, b1 y c1, ya que c1 deber\u00eda valer 9.<\/p>\n\n\n\n
Si b3 vale 8, b2 valdr\u00eda 1, b1 deber\u00eda valer 11, pero en ese caso c3 tambi\u00e9n vale 8, ya que 16 = b3 + c3, y Carla no ser\u00eda la que m\u00e1s votos en tercer lugar habr\u00eda obtenido, pues habr\u00eda empatado con Berta.<\/p>\n\n\n\n
As\u00ed pues, la \u00fanica respuesta v\u00e1lida es que b3 es 7, b2 vale 3 y b1 vale 10. En ese caso, c1 = 6, c2 = 5 y c3 = 9, que es una soluci\u00f3n totalmente coherente con el enunciado.<\/p>\n\n\n\n
En consecuencia, Berta ha salido en 10 papeletas como primera opci\u00f3n, en 3 como segunda y en 7 como tercera opci\u00f3n.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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