{"id":3632,"date":"2025-06-28T07:14:32","date_gmt":"2025-06-28T07:14:32","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3632"},"modified":"2025-06-28T07:14:33","modified_gmt":"2025-06-28T07:14:33","slug":"solucion-a-numeros-bicifridos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2025\/06\/28\/solucion-a-numeros-bicifridos\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a “N\u00fameros bic\u00edfridos”"},"content":{"rendered":"
Problema 7 del concurso Marat\u00f3 de problemes 2025\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os<\/pre>\n\n\n
En este problema, llamaremos n\u00fameros bic\u00edfridos a aquellos n\u00fameros naturales que tienen la propiedad de que en su expresi\u00f3n en base 10 aparecen dos cifras diferentes, y no m\u00e1s de dos cifras diferentes.<\/p>\n\n\n\n
Por ejemplo, 47747, 221, o 56565556 son n\u00fameros bic\u00edfridos, respectivamente, de cinco, tres y ocho cifras, mientras que 666 y 45454456 no lo son.<\/p>\n\n\n\n
a) Razona qu\u00e9 n\u00fameros bic\u00edfridos de cuatro cifras pueden ser m\u00faltiplos de 11, y haz el recuento de cu\u00e1ntos diferentes hay.<\/p>\n\n\n\n
b) Razona qu\u00e9 n\u00famero bic\u00edfridos de cinco cifras pueden ser m\u00faltiplos de 11, y haz el recuento de cu\u00e1ntos diferentes hay.<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
Soluci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
Este problema combina combinatoria y teor\u00eda de n\u00fameros de una manera ingeniosa.<\/p>\n\n\n\n
Empecemos por entender la posici\u00f3n en la que pueden estar las cifras repetidas, lo que llamaremos el tipo de n\u00fameros bic\u00edfridos.<\/p>\n\n\n\n
En los de cuatro cifras, tenemos los de 3 cifras y 1 cifra<\/p>\n\n\n\n
AAAB
AABA
ABAA
BAAA<\/p>\n\n\n\n
Y los de 2 cifras y 2 cifras<\/p>\n\n\n\n
AABB
ABBA
ABAB<\/p>\n\n\n\n
Adem\u00e1s, debemos considerar que la primera cifra no puede ser 0.<\/p>\n\n\n\n
Si a\u00f1adimos que queremos que sea m\u00faltiplo de 11, sabemos que las sumas de las cifras en posici\u00f3n par y en posici\u00f3n impar deben diferenciarse en un m\u00faltiplo de 11.<\/p>\n\n\n\n
En los de tipo AAAB, la diferencia de las sumas es B \u2013 A (puede ser negativa, si A es mayor que B), que en ning\u00fan caso puede ser m\u00faltiplo de 11 pues no pueden ser iguales.<\/p>\n\n\n\n
En los de tipo AABA, la diferencia tambi\u00e9n es A \u2013 B, y sucede de nuevo lo mismo.<\/p>\n\n\n\n
En los de tipo ABAA y en los de tipo BAAA volvemos a la misma situaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n
En los de tipo AABB, la diferencia siempre es 0, por lo que todos ellos son m\u00faltiplos de 11, y son un total de 81 (9 posibles posiciones para la cifra A y 9 para la B), aunque todos estar\u00e1n contados 2 veces, salvo los que la cifra B sea 0, caso en el que no pueden intercambiar posiciones. En total hay 72\/2 + 9 = 45 n\u00fameros diferentes de este tipo.<\/p>\n\n\n\n
En los de tipo ABBA de nuevo pasa lo mismo, de forma que tenemos otros 45.<\/p>\n\n\n\n
En los de tipo ABAB, la diferencia es 2B \u2013 2A = 2(B \u2013 A). Si es m\u00faltiplo de 11, de nuevo lo es B \u2013 A, cosa que sabemos que no puede pasar.<\/p>\n\n\n\n
Por tanto hay 90 n\u00fameros bic\u00edfridos de 4 cifras m\u00faltiplos de 11.<\/p>\n\n\n\n
Pasemos a las 5 cifras.<\/p>\n\n\n\n
AAAAB
AAABA
AABAA
ABAAA
BAAAA
AAABB
AABAB
AABBA
ABAAB
ABABA
ABBAA
BAAAB
BAABA
BABAA
BBAAA<\/p>\n\n\n\n
Con lo que la casu\u00edstica es mucho m\u00e1s compleja.<\/p>\n\n\n\n
En los casos AAAAB y AABAA, la diferencia es B, cosa que s\u00f3lo puede ocurrir cuando B vale 0, as\u00ed que habr\u00e1 9 de estos n\u00fameros en cada tipo, 18 en total.<\/p>\n\n\n\n
En el caso BAAAA la diferencia es tambi\u00e9n B, pero no puede valer 0, as\u00ed que no aporta m\u00e1s.<\/p>\n\n\n\n
En los casos ABAAA y el AAABA la diferencia es 2A \u2013 B. No puede alcanzar el valor -11, pero s\u00ed puede alcanzar el valor 0, cada vez que A sea la mitad de B (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8). Tendremos un total de 8. Adem\u00e1s, esta diferencia puede alcanzar un valor de 11 en unos cuantos casos (6,1), (7,3),(8,5) y (9,7), otros 8 casos. Un total de 16 nuevos casos.<\/p>\n\n\n\n
Los casos que no tienen ninguno son AAABB, AABBA, ABAAB, y ABBAA, en los que la diferencia es A, y no puede valer 0.<\/p>\n\n\n\n
Dos casos muy diferentes son los de BAABA y BBAAA, en los que la diferencia tambi\u00e9n es A, pero s\u00ed puede valer 0, dando lugar a 9 n\u00fameros del tipo buscado, un total de 18 m\u00e1s.<\/p>\n\n\n\n
Los casos AABAB, BAAAB, y BABAA tienen una diferencia 2B \u2013 A, en los que tenemos unas cuantas combinaciones v\u00e1lidas con n\u00fameros diferentes (2, 1), (4, 2), (6, 3) y (8, 4) en los que da 0, y (1, 6), (3, 7), (5, 8) y (7, 9), en los que la diferencia es 11, lo que hace un total de 24 nuevos n\u00fameros.<\/p>\n\n\n\n
Por \u00faltimo, hay un caso especial, el ABABA, en el que la diferencia es 3A \u2013 2B, que puede dar -11, para los valores (1, 7), puede dar 0 en (2, 3), (4, 6) y (6, 9), puede dar 11 en (5, 2), (7, 5) y en (9, 8), e incluso puede dar 22 en (8, 1), lo que a\u00f1ade 8 nuevos casos.<\/p>\n\n\n\n
En total, si no hemos perdido ning\u00fan caso en el proceso, tenemos un total de 18 + 16 + 18 + 24 + 8 = 84 n\u00fameros de 5 cifras bic\u00edfridos m\u00faltiplos de 11.<\/p>\n\n\n\n
Otra manera de abordar este proceso es escribir el n\u00famero como 10000a + 1000b + 100c + 10d + e siendo m\u00faltiplo de 11 y con una serie de condiciones para a, b, c, d, y e que sean algunos iguales entre ellos. Hay que trabajar con diferentes casos, y los resultados dan valores concretos tambi\u00e9n, pero creo que es m\u00e1s complicado.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Problema 7 del concurso Marat\u00f3 de problemes 2025 Se dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os En este problema, llamaremos n\u00fameros bic\u00edfridos a aquellos n\u00fameros naturales que tienen la propiedad de que en su expresi\u00f3n en base 10 aparecen dos cifras diferentes, y no m\u00e1s de dos cifras diferentes. Por ejemplo, 47747, 221, o 56565556 […]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242030,2242026,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-3632","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-marato","category-marato-de-problemes","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3632","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3632"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3632\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3633,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3632\/revisions\/3633"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3632"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3632"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3632"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}