{"id":3648,"date":"2025-07-12T14:58:11","date_gmt":"2025-07-12T14:58:11","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3648"},"modified":"2025-07-12T14:58:13","modified_gmt":"2025-07-12T14:58:13","slug":"solucion-a-la-estrella-del-dodecagono","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2025\/07\/12\/solucion-a-la-estrella-del-dodecagono\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a &#8220;La estrella del dodec\u00e1gono&#8221;"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 9 del concurso Marat\u00f3 de problemes 2025\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os<\/pre>\n\n\n<p>A partir del dodec\u00e1gono regular, construimos una figura inscribiendo un cuadrado, y usando los lados como ejes de simetr\u00eda para los tres lados consecutivos que quedan fuera del cuadrado, de forma que construimos el pol\u00edgono no convexo de 12 lados que vemos en la imagen.<\/p>\n\n\n\n<p>Siendo que el lado del dodec\u00e1gono mide 1 cm, calcula el \u00e1rea en cm\u00b2 del \u00e1rea de la estrella.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"300\" height=\"300\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2025\/07\/389.estrella.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3645\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Soluci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n<!--more-->\n\n\n\n<p>En los problemas en los que hay tanta simetr\u00eda se puede trabajar por \u00e1ngulos y buscar tri\u00e1ngulos conocidos en su interior.<\/p>\n\n\n\n<p>Es f\u00e1cil fijarse en que el tri\u00e1ngulo que se forma entre los dos segmentos sim\u00e9tricos que hay a cada lado de cada lado del cuadrado se forma un tri\u00e1ngulo is\u00f3sceles que parece equil\u00e1tero. Tal vez nos pueda ayudar a calcular \u00e1reas.<\/p>\n\n\n\n<p>Puesto que el dodecaedro tiene 12 lados id\u00e9nticos y se puede inscribir en una circunferencia, desde el centro se forman tri\u00e1ngulos is\u00f3sceles con un \u00e1ngulo diferente de 30\u00ba = 360\u00ba\/12. Eso quiere decir que el \u00e1ngulo entre dos lados consecutivos de un dodecadro es exactamente 2*(180 \u2013 30)\/2 = 150\u00ba.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"300\" height=\"300\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2025\/07\/389.estrellab.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3649\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Puesto que el \u00e1ngulo del cuadrado es de 90\u00ba, se forma a los dos lados del cuadrado \u00e1ngulos de 30\u00ba, por lo que, en efecto, vemos tri\u00e1ngulos equil\u00e1teros y cuadrados en las simetr\u00edas con las que construimos la estrella.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"300\" height=\"300\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2025\/07\/389.estrellac.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3650\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Puesto que los lados del dodec\u00e1gono miden 1 cm, podemos calcular el lado del cuadrado usando el teorema de Pit\u00e1goras o trigonometr\u00eda, ya que la altura del tri\u00e1ngulo de lado 1 mide ra\u00edz(3)\/2.<\/p>\n\n\n\n<p>Y por tanto, el lado del cuadrado mide 1 + ra\u00edz(3).<\/p>\n\n\n\n<p>Y el \u00e1rea del cuadrado por tanto ser\u00eda (1 + ra\u00edz(3))\u00b2 = 1 + 2ra\u00edz(3) + 3 = 4 + 2ra\u00edz(3).<\/p>\n\n\n\n<p>Ahora bien, cada una de las simetr\u00edas le est\u00e1 quitando al cuadrado grande medio cuadrado de lado uno y dos medios tri\u00e1ngulos equil\u00e1teros, es decir, un \u00e1rea total de \u00bd + ra\u00edz(3)\/4.<\/p>\n\n\n\n<p>Puesto que le quitamos cuatro \u00e1reas de este tipo, tenemos (4 + 2ra\u00edz(3)) \u2013 (2 + ra\u00edz(3)) = 2 + ra\u00edz(3) cent\u00edmetros cuadrados, aproximadamente 3,73 cm\u00b2.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 9 del concurso Marat\u00f3 de problemes 2025 Se dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os A partir del dodec\u00e1gono regular, construimos una figura inscribiendo un cuadrado, y usando los lados como ejes de simetr\u00eda para los tres lados consecutivos que quedan fuera del cuadrado, de forma que construimos el pol\u00edgono no convexo de 12 [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242030,2242026,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-3648","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-marato","category-marato-de-problemes","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3648","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3648"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3648\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3651,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3648\/revisions\/3651"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3648"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3648"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3648"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}