{"id":3656,"date":"2025-07-19T06:37:09","date_gmt":"2025-07-19T06:37:09","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3656"},"modified":"2025-07-19T06:37:11","modified_gmt":"2025-07-19T06:37:11","slug":"solucion-a-bolsas-con-muchas-canicas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2025\/07\/19\/solucion-a-bolsas-con-muchas-canicas\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a “Bolsas con muchas canicas”"},"content":{"rendered":"
Problema 10 del concurso Marat\u00f3 de problemes 2025\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os<\/pre>\n\n\n
Tenemos 10 bolsas, todas ellas con la misma cantidad inicial de canicas.<\/p>\n\n\n\n
De la primera bolsa sacamos una determinada cantidad de canicas, de la segunda, el doble que de la primera, de la tercera, el doble que de la segunda, y as\u00ed sucesivamente.<\/p>\n\n\n\n
Da la casualidad que, al sacar las canicas de la \u00faltima bolsa, quedan dentro la misma cantidad que hemos sacado de la primera.<\/p>\n\n\n\n
El n\u00famero total de bolas de canicas que quedan en las bolsas, despu\u00e9s de estas extracciones, es de 12321.<\/p>\n\n\n\n
Se pide calcular cu\u00e1ntas canicas hab\u00edan inicialmente en cada una de las bolsas.<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
Soluci\u00f3n: <\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
Llamemos x al n\u00famero de bolas que extraemos de la primera bolsa, y llamemos y al n\u00famero total de bolas que inicialmente tienen las 10 bolsas.<\/p>\n\n\n\n
De la segunda bolsa extraemos 2x, de la tercera 4x, y as\u00ed sucesivamente. Cuando extraemos 2\u2079x = 512x de la \u00faltima, quedan exactamente x, con lo que est\u00e1 claro que y = 513x.<\/p>\n\n\n\n
Ahora, puesto que sabemos las que quedan despu\u00e9s de las extracciones, sabemos que 10y = 12321 + x + 2x + 4x + \u2026 + 512x, es decir, que el total son las que quedan m\u00e1s las que hemos extra\u00eddo.<\/p>\n\n\n\n
De ah\u00ed, obtenemos 5130x = 12321 + (1 + 2 + 4 + \u2026 + 512)x = 12321 + 1023x.<\/p>\n\n\n\n
De esta \u00faltima ecuaci\u00f3n, tenemos que 4107x = 12321, por lo que x = 12321\/4107 = 3. Por supuesto, y = 513\u00b73 = 1539.<\/p>\n\n\n\n
As\u00ed que inicialmente, en cada bolsa hab\u00eda 1539 canicas, y de la primera extrajimos 3.<\/p>\n\n\n\n
En este problema ayuda bastante para hacer las cuentas saber sumar una progresi\u00f3n geom\u00e9trica, es decir 1 + 2 + 4 + \u2026 + 2\u2079, y la f\u00f3rmula es muy sencilla, ya que si a esta suma le llamamos S, 2S es casi la misma suma, 2 + 4 + 8 + \u2026 + 2\u00b9\u2070, y restando ambas cantidades, tenemos que 2S \u2013 S = S, y es igual a 2\u00b9\u2070 \u2013 1 = 1023. Se trata de una estrategia muy r\u00e1pida para sumar cualquier sucesi\u00f3n en la que multipliquemos por una constante para pasar de un t\u00e9rmino a otro.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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