{"id":3662,"date":"2025-07-27T09:42:34","date_gmt":"2025-07-27T09:42:34","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3662"},"modified":"2025-07-27T09:42:35","modified_gmt":"2025-07-27T09:42:35","slug":"solucion-a-rectangulo-dividido","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2025\/07\/27\/solucion-a-rectangulo-dividido\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a “Rect\u00e1ngulo dividido”"},"content":{"rendered":"
Problema 11 del concurso Marat\u00f3 de problemes 2025\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os\n<\/pre>\n\n\n
El rect\u00e1ngulo ABCD de la figura est\u00e1 dividido en 6 rect\u00e1ngulos iguales por 5 segmentos paralelos al lado BC.<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
El punto E del segmento BC tiene la propiedad de que el segmento AE divide al \u00faltimo de los rect\u00e1ngulos peque\u00f1os, el que contiene al segmento BC, en dos partes exactamente iguales.<\/p>\n\n\n\n
Si suponemos que el tri\u00e1ngulo que forma el segmento AE en el primer rect\u00e1ngulo peque\u00f1o, el que contiene al segmento AD, tiene un \u00e1rea de 1 cm\u00b2, calcula el \u00e1rea del rect\u00e1ngulo ABCD.<\/p>\n\n\n\n
Soluci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
La clave para entender el problema es darse cuenta de que el segmento AE debe pasar por el centro del rect\u00e1ngulo peque\u00f1o.<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
Una vez que esto est\u00e1 claro, dividimos el rect\u00e1ngulo en el doble de rect\u00e1ngulos peque\u00f1os, 12, y el punto de corte del segmento \u00faltimo de divisi\u00f3n (el que ser\u00eda el decimoprimero) con el segmento AE est\u00e1 en el centro del segmento.<\/p>\n\n\n\n
Usando el principio de semejanza, el tri\u00e1ngulo que se forma entre el segmento decimoprimero, el segmento AE y el segmento AB guardar\u00eda una proporci\u00f3n lineal de escala 5.5 con el tri\u00e1ngulo que menciona el problema, por lo que su tama\u00f1o ser\u00eda 5.5 veces m\u00e1s largo y 5.5 veces m\u00e1s alto.<\/p>\n\n\n\n
El rect\u00e1ngulo, por tanto, ser\u00e1 6 veces m\u00e1s largo, ya que tiene un segmento m\u00e1s.<\/p>\n\n\n\n
El rect\u00e1ngulo ser\u00e1 11 veces m\u00e1s alto, ya que el lado del tri\u00e1ngulo de escala 5.5 sobre el segmento decimoprimero lo divide por la mitad.<\/p>\n\n\n\n
Como el tri\u00e1ngulo tiene la mitad del \u00e1rea de un rect\u00e1ngulo de las mismas dimensiones, un rect\u00e1ngulo que contuviese a ese tri\u00e1ngulo tendr\u00eda un \u00e1rea 2, as\u00ed que el rect\u00e1ngulo original tendr\u00eda un \u00e1rea de 2\u00b711\u00b76 = 132 cm\u00b2.<\/p>\n\n\n\n
Otra soluci\u00f3n que se me ocurre, m\u00e1s r\u00e1pida, es pensar que si el tri\u00e1ngulo tiene \u00e1rea 1, el siguiente trapecio que forma en el segundo rect\u00e1ngulo tiene \u00e1rea 2 + 1 (el rect\u00e1ngulo que es doble del tri\u00e1ngulo original m\u00e1s un tercer tri\u00e1ngulo igual), en el tercero tiene \u00e1rea 5, en el cuarto 7, en el quinto 9 y en el sexto 11. Como es la mitad del rect\u00e1ngulo completo, el rect\u00e1ngulo peque\u00f1o \u00faltimo mide 22 de \u00e1rea, luego el \u00e1rea de todo el rect\u00e1ngulo grande ser\u00e1 22\u00b76 = 132 cm\u00b2.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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