{"id":3686,"date":"2026-06-20T08:22:01","date_gmt":"2026-06-20T08:22:01","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3686"},"modified":"2026-06-20T08:22:02","modified_gmt":"2026-06-20T08:22:02","slug":"solucion-a-una-circunferencia-inscrita","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2026\/06\/20\/solucion-a-una-circunferencia-inscrita\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a “Una circunferencia inscrita”"},"content":{"rendered":"
Problema 13 del concurso Marat\u00f3 de problemes 2025\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os<\/pre>\n\n\n
En un cuadrado ABCD de 4 unidades de lado, se marca un punto E en el lado DA de forma que la longitud entre E y D es de 3 unidades.<\/p>\n\n\n\n
En la figura se puede apreciar una circunferencia R, tangente a los lados DA y AB, y al segmento CE.<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
a) Encuentra el radio de la circunferencia R razonadamente.<\/p>\n\n\n\n
b) Decidir c\u00f3mo se puede hacer una construcci\u00f3n con regla y comp\u00e1s que nos permita trazar la circunferencia R.<\/p>\n\n\n\n
Soluci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n
Veo dos formas de enfocar este problemas, por semejanzas y radios, o bien por bisectrices, como la mayor\u00eda de tangentes.<\/p>\n\n\n\n
Por bisectrices, es utilizar que si tenemos una circunferencia tangente a dos rectas, su centro est\u00e1 sobre la bisectriz de las dos rectas.<\/p>\n\n\n\n
En este caso, al ser tangente a tres rectas es f\u00e1cil encontrar dos o tres bisectrices.<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
Hay una tercera bisectriz, en la que estar\u00eda el centro, pero no es tan obvia (la que forman AE y BC).<\/p>\n\n\n\n
Hay varios m\u00e9todos para fabricar las bisectrices, pero yo prefiero hacer los vectores y usarlos para conseguir el vector de la bisectriz.<\/p>\n\n\n\n
Por ejemplo, si ponemos los ejes sobre el punto D, y usamos los lados del cuadrado para los ejes, y la unidad de medida como unidad, tenemos que el punto C es (4, 0), E es (3, 0), A es (0,4) y B es (4, 4)<\/p>\n\n\n\n
El vector EC ser\u00eda (1, 0) y el vector EA ser\u00eda (-3, 4).<\/p>\n\n\n\n
Si los normalizamos (los cambiamos de tama\u00f1o sin cambiar su direcci\u00f3n o sentido) ser\u00edan (1, 0) y (-3\/5 , 4\/5).<\/p>\n\n\n\n
Ahora, al sumarlos tendr\u00edamos un vector que apuntar\u00eda en la direcci\u00f3n de la bisectriz. (2\/5, 4\/5). Como necesitamos s\u00f3lo su direcci\u00f3n, lo voy a multiplicar por un valor para simplificarlo: (1, 2).<\/p>\n\n\n\n
Con ese vector construimos la ecuaci\u00f3n de la recta 2x \u2013 y = B, que si queremos que pase por (3, 0) tiene que ser 2x \u2013 y = 6.<\/p>\n\n\n\n
Ahora, el vector CE es (-1, 0) y el vector CB es (0, 4). Normalizados ser\u00edan (-1, 0) y (0, 1). Su suma ser\u00eda (-1, 1) que no se puede simplificar mucho.<\/p>\n\n\n\n
La ecuaci\u00f3n de la bisectriz ser\u00eda x + y = B, que si queremos que pase por C (4, 0) ser\u00e1 x + y = 4.<\/p>\n\n\n\n
Ahora, para cortar las dos rectas, resolvemos el sistema ( 2x \u2013 y = 6, x + y = 4) y obtenemos el punto (10\/3, \u2154). \u00c9se es el centro, y su distancia a cualquiera de las tres rectas, el radio, que en este caso no hay que darle muchas vueltas, es \u2154.<\/p>\n\n\n\n
El m\u00e9todo con regla y comp\u00e1s aqu\u00ed ser\u00eda muy sencillo, ya que hacer las bisectrices es un proceso muy conocido.<\/p>\n\n\n\n
La otra forma de abordar el problema es dibujar todos los radios.<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
Y establecer las diferentes medidas, ya que s\u00f3lo hay que fijarse en que si llamamos r al radio, el punto de tangencia horizontal divide al segmento EC en dos, r y 1 \u2013 r.<\/p>\n\n\n\n
Por la simetr\u00eda entre las tangentes, este segmento 1 \u2013 r est\u00e1 presente tambi\u00e9n en el tri\u00e1ngulo que se forma entre la horizontal y el punto de tangencia oblicuo, y este tri\u00e1ngulo tiene una componente vertical que, debido a cuestiones de semejanza con el tri\u00e1ngulo EAD, tendr\u00e1 una componente vertical 4\/5 \u2013 4r\/5.<\/p>\n\n\n\n
Debido a la misma semejanza, vemos que se forma otro tri\u00e1ngulo con el radio al punto de tangencia oblicuo, que tiene una hipotenusa de tama\u00f1o r y una componente vertical, por semejanza, de 3r\/5.<\/p>\n\n\n\n
Sumando las dos obtenemos 4\/5 \u2013 r\/5 = r, con lo que 4\/5 = 6r\/5 y por tanto 4 = 6r, de donde deducimos que r = \u2154.<\/p>\n\n\n\n
Otra construcci\u00f3n con regla y comp\u00e1s, por tanto, ser\u00eda dividir el segmento EC en tres partes iguales, que mide \u2153 cada una de ellas. Levantar una vertical por el punto de los tres m\u00e1s cercano a E, y tambi\u00e9n hacer una circunferencia centrada en C que pase por ese punto, y ver donde corta al segmento BC. Haciendo una horizontal por ese punto y viendo donde corta a la trazada anteriormente, tendr\u00edamos el centro de la circunferencia.<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
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