{"id":3701,"date":"2026-06-29T06:34:23","date_gmt":"2026-06-29T06:34:23","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3701"},"modified":"2026-07-06T16:20:56","modified_gmt":"2026-07-06T16:20:56","slug":"un-sistema-de-ecuaciones-con-cierta-simetria","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2026\/06\/29\/un-sistema-de-ecuaciones-con-cierta-simetria\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a \u00abUn sistema de ecuaciones con cierta simetr\u00eda\u00bb"},"content":{"rendered":"
\nProblema 1 de la Fase Local de la LXII Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n\n\n
Determina todas las soluciones reales del sistema de ecuaciones siguiente:<\/p>\n\n\n\n
x\u00b3 = 5x + y<\/p>\n\n\n\n
y\u00b3 = 5y + x<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
Soluci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n
Lo primero que apreciamos es que las dos ecuaciones relacionan de manera sim\u00e9trica ambas variables, es decir, si cambiamos el papel de x y de y, cumplen una u otra ecuaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n
Tambi\u00e9n es cierto que podemos despejar f\u00e1cilmente alguna variable, de forma que y = x\u00b3 \u2013 5x o bien x = y\u00b3 \u2013 5y.<\/p>\n\n\n\n
Si ambas variables fuesen iguales, tendr\u00edamos que cumplir x = x\u00b3 \u2013 5x, es decir, que 0 = x\u00b3 \u2013 6x, que tiene tres soluciones muy sencillas de calcular, x = 0, x = ra\u00edz(6) y x = – ra\u00edz(6). En esos tres valores, siendo x = y tendr\u00edamos una soluci\u00f3n del sistema, por tanto, tenemos ya tres soluciones (0, 0), (ra\u00edz(6), ra\u00edz(6)) y (-ra\u00edz(6), – ra\u00edz(6)).<\/p>\n\n\n\n
Vamos a despejar y sustituir, puesto que y = x\u00b3 \u2013 5x, tenemos que y\u00b3 = x\u2079 \u2013 15x\u2077 + 75x\u2075 \u2013 125x\u00b3, operaci\u00f3n que si no sabes desarrollar un cubo te interesa lograr multiplicando (x\u00b3 \u2013 5x)\u00b2\u00b7 (x\u00b3 \u2013 5x). Si quieres asegurarte de que lo has hecho bien, prueba a cambiar la x por un n\u00famero sencillo, como 1, para ver si da lo mismo en ambos casos.<\/p>\n\n\n\n
Al sustituir en la ecuaci\u00f3n y\u00b3 = 5y + x, tenemos x\u2079 \u2013 15x\u2077 + 75x\u2075 \u2013 125x\u00b3 = 5x\u00b3 \u2013 25x + x. Igualando a cero, tenemos un polinomio de noveno grado que factorizar: x\u2079 \u2013 15x\u2077 + 75x\u2075 \u2013 130x\u00b3 + 24x = 0. Observa que le faltan varios t\u00e9rminos y que a lo sumo va a tener 9 soluciones. Y 3 de esas soluciones ya las tenemos.<\/p>\n\n\n\n
Procedemos a sacar factor com\u00fan la x (que corresponde a la soluci\u00f3n x = 0), y vemos que se queda una ecuaci\u00f3n f\u00e1cilmente reducible, ya que todos sus t\u00e9rminos son pares. Haciendo el cambio t = x\u00b2, quedar\u00eda t\u2074 \u2013 15t\u00b3 + 75t\u00b2 \u2013 130t + 24 = 0<\/p>\n\n\n\n
Pero recordad que ya tenemos dos soluciones, es decir, que sabemos que si x = ra\u00edz(6) y x = -ra\u00edz(6), se cumple. En ambos casos, t = 6. Por lo tanto, dividiendo por ruffini bajamos el grado de la ecuaci\u00f3n:<\/p>\n\n\n
\n  1 -15  +75 -130  24\n6     6 -54   126 -24\n  1  -9  21    -4   0\n<\/pre>\n\n\n
Queda el polinomio t\u00b3 \u2013 9t\u00b2 +21t \u2013 4 = 0. Todav\u00eda no podemos aplicarle f\u00f3rmula, pero polinomios de este tipo hemos trabajado. Debemos seguir probando con divisores de 4. Tras descartar 1 y -1, 2 y -2, tenemos que centrarnos en el 4.<\/p>\n\n\n
\n   1 -9  21 -4\n4     4 -20  4\n   1 -5   1  0\n<\/pre>\n\n\n
Con lo que t = 4 es soluci\u00f3n, que nos da otro par de soluciones, ya que tendr\u00edamos que x = 2 e y = – 2, y por otro lado x= -2 e y = 2. Es decir, las soluciones (2, -2) y (-2, 2), lo que hace un total de 5 soluciones.<\/p>\n\n\n\n
Lo que nos queda es un polinomio t\u00b2 \u2013 5t + 1 = 0, que claramente no tiene m\u00e1s soluciones enteras, pero s\u00ed reales, ya que t puede ser (5 + ra\u00edz(21))\/2 o bien ser (5 \u2013 ra\u00edz(21))\/2, ambas positivas, con lo que x podr\u00eda tener cuatro valores diferentes m\u00e1s.<\/p>\n\n\n\n
1) x = ra\u00edz((5 + ra\u00edz(21))\/2), calculando y = x\u00b3 \u2013 5x.<\/p>\n\n\n\n
2) x = -ra\u00edz((5 + ra\u00edz(21))\/2), calculando y = x\u00b3 \u2013 5x.<\/p>\n\n\n\n
3) x = ra\u00edz((5 – ra\u00edz(21))\/2), calculando y = x\u00b3 \u2013 5x.<\/p>\n\n\n\n
4) x = -ra\u00edz((5 – ra\u00edz(21))\/2), calculando y = x\u00b3 \u2013 5x.<\/p>\n\n\n\n
Con esto el problema queda cerrado, porque tenemos las 9 soluciones que pod\u00eda tener a lo sumo.<\/p>\n\n\n\n
Sin embargo, estar\u00eda bien saber algo m\u00e1s de esas ra\u00edces, ya que la ra\u00edz de una suma no es sencilla de obtener. \u00bfPodr\u00edamos reescribir (5 + ra\u00edz(21))\/2 como el cuadrado de una suma, para poder hacer la ra\u00edz cuadrada? Resulta que s\u00ed.<\/p>\n\n\n\n
Supongamos que tenemos como objetivo mejor (10 + 2ra\u00edz(21))\/4), que es m\u00e1s sencillo que sea el cuadrado de algo partido por 2, y podemos suponer que ese algo es ra\u00edz(a) + ra\u00edz(b). Haciendo un sistema con la parte que se queda en la ra\u00edz y la que se eleva al cuadrado, podemos deducir que a = 3 y b = 7.<\/p>\n\n\n\n
Por tanto (5 + ra\u00edz(21))\/2 = ((ra\u00edz(3) + ra\u00edz(7))\/2)\u00b2, por lo que las ra\u00edces quedan as\u00ed, y son algo m\u00e1s c\u00f3modas de escribir:<\/p>\n\n\n\n
1) x = (ra\u00edz(3) + ra\u00edz(7))\/2, operando, tenemos que y = (ra\u00edz(3) – ra\u00edz(7))\/2.<\/p>\n\n\n\n
2) x = -(ra\u00edz(3) + ra\u00edz(7))\/2, calculando y = (-ra\u00edz(3) + ra\u00edz(7))\/2.<\/p>\n\n\n\n
3) x = (ra\u00edz(3) – ra\u00edz(7))\/2, calculando y = (ra\u00edz(3) + ra\u00edz(7))\/2.<\/p>\n\n\n\n
4) x = (-ra\u00edz(3) + ra\u00edz(7))\/2, calculando y = -(ra\u00edz(3) + ra\u00edz(7))\/2.<\/p>\n\n\n\n
Y esos eran los 4 puntos que faltaban. Ser\u00edan, por tanto, las 9 soluciones.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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