{"id":3713,"date":"2026-07-12T11:07:32","date_gmt":"2026-07-12T11:07:32","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3713"},"modified":"2026-07-12T11:07:34","modified_gmt":"2026-07-12T11:07:34","slug":"solucion-a-valores-primos-en-un-polinomio","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2026\/07\/12\/solucion-a-valores-primos-en-un-polinomio\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a \u00abValores primos en un polinomio\u00bb"},"content":{"rendered":"
\nProblema 6 de la Fase Local de la LXII Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n\n\n
Determina los enteros positivos p para los que el polinomio<\/p>\n\n\n\n
f(x) = 4x\u00b2 + p<\/p>\n\n\n\n
toma valores primos en todos los enteros x = 0, 1, \u2026 p \u2013 1.<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
Soluci\u00f3n: <\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
Este es uno de los problemas m\u00e1s dif\u00edciles de la fase, en mi opini\u00f3n, ya que encontrar un patr\u00f3n en los n\u00fameros primos (o en los compuestos) es bastante dif\u00edcil, el que yo he encontrado es muy similar o al de la soluci\u00f3n oficial, aunque vaya por delante que se podr\u00edan haber encontrado otros.<\/p>\n\n\n\n
Ensayando, r\u00e1pidamente nos damos cuenta de que p debe ser primo, ya que f(0) = 0 + p = p es primo.<\/p>\n\n\n\n
De esta forma, descartamos 2 y 5, ya que, en el caso de 2, f(1) = 6, que es compuesto, y en el de 5, f(1) = 9.<\/p>\n\n\n\n
El 3 es el primer n\u00famero que cumple el enunciado, ya que f(0) = 3, f(1) = 7 y f(2) = 19.<\/p>\n\n\n\n
El 7 es el segundo n\u00famero que lo cumple, y aqu\u00ed es un poco m\u00e1s largo, ya que la secuencia de primos que aparece es 7, 11, 23, 43, 71 y 151, y el valor de x de este \u00faltimo es 6 = 7 \u2013 1.<\/p>\n\n\n\n
Si seguimos comprobando con valores de p mayores, vemos que ya no aparecen m\u00e1s n\u00fameros que cumplan este enunciado, pero es complicado explicar en qu\u00e9 valor falla alguno de ellos. Veamos algunos de los n\u00fameros que fallan y en qu\u00e9 n\u00fameros podemos calcular que fallan.<\/p>\n\n\n\n
El 11 falla en 1, ya que f(1) = 15 = 3\u00b75. Tambi\u00e9n falla en 2, f(2) = 27 = 3\u00b73\u00b73.<\/p>\n\n\n\n
El 13 falla en 3, f(3) = 49 = 7\u00b77, y en 4, que da 77 = 7\u00b711.<\/p>\n\n\n\n
El 17 falla en 1, que da 21 = 3\u00b77, mientras que en 2, da 33 = 3\u00b711.<\/p>\n\n\n\n
La secuencia sigue, y es dif\u00edcil encontrar algo a lo que podamos llamar patr\u00f3n. Lo primero que llama la atenci\u00f3n es que parecen fallar en dos seguidos, y que estos dos fallos comparten un divisor.<\/p>\n\n\n\n
El 19, falla en 2, con 35 = 5\u00b77 y en 3, con 55 = 5\u00b711.<\/p>\n\n\n\n
El 23, falla en 1 (27 =3\u00b73\u00b73) y en 2 (39 = 3\u00b713).<\/p>\n\n\n\n
El 29, falla en 1 (33 = 3\u00b711) y en 2 (45 = 3\u00b73\u00b75).<\/p>\n\n\n\n
El 31 es diferente, aqu\u00ed no sucede en n\u00fameros seguidos, as\u00ed que hace saltar la alarma de patr\u00f3n confuso. El primer n\u00famero donde falla es 1 (35 = 5\u00b77), mientras que el segundo es (4 = 5\u00b719). Sin embargo, mantienen lo del divisor en com\u00fan. Inquieta, pero luego veremos qu\u00e9 tiene de especial el 31.<\/p>\n\n\n\n
Para m\u00ed, el 37 fue clave en el desarrollo del problema. El primer n\u00famero en que falla es el 9, ya que f(9) da 361 = 19\u00b719, y f(10) = 437 = 19\u00b723. Y aqu\u00ed se me encendi\u00f3 la bombilla.<\/p>\n\n\n\n
\u00bfQu\u00e9 tiene que ver 19 con 37?, que divide a 37 + 1. Adem\u00e1s 9 y 10 son los enteros m\u00e1s pr\u00f3ximos a la mitad de 19.<\/p>\n\n\n\n
Veamos qu\u00e9 est\u00e1 pasando.<\/p>\n\n\n\n
Supongamos que q es un divisor impar de p + 1, ya que p es impar por ser un primo mayor que 10.<\/p>\n\n\n\n
El 31 y el 127, por ejemplo, no tienen ese divisor, ya que el siguiente n\u00famero es una potencia de 2, tendremos que estudiar qu\u00e9 les sucede de otra forma.<\/p>\n\n\n\n
Por tanto en este ataque nos ocupamos de los primos que no son anteriores a una potencia de 2.<\/p>\n\n\n\n
Ahora, los enteros que est\u00e1n m\u00e1s cerca de la mitad ser\u00edan (q + 1)\/2 y (q \u2013 1)\/2. Estos van a ser los valores de x, y veamos qu\u00e9 da f(x).<\/p>\n\n\n\n
f(x) = 4((q \u2013 1)\/2)\u00b2 + p = 4(q\u00b2 \u2013 2q + 1)\/4 + p = q\u00b2 \u2013 2q + 1 + p.<\/p>\n\n\n\n
f(x) = 4((q + 1)\/2)\u00b2 + p = 4(q\u00b2 + 2q + 1)\/4 + p = q\u00b2 + 2q + 1 + p.<\/p>\n\n\n\n
En ambos casos, el n\u00famero es divisible por q, ya que los primeros dos sumandos tienen un factor q, y los otros dos son precisamente q + 1. Est\u00e1 claro que ser\u00e1n n\u00fameros compuestos, as\u00ed que esos valores de p no pueden ser del conjunto buscado.<\/p>\n\n\n\n
Ahora, vamos a centrarnos en los n\u00fameros que son anteriores a una potencia de 2. Observamos que 3 y 7 est\u00e1n entre esos n\u00fameros, y por eso no se les puede aplicar el razonamiento. Adem\u00e1s, resulta curioso que en 31 ocurra otra circunstancia con respecto a lo de tener un par consecutivo de n\u00fameros que son divisibles por un mismo factor. Como tengo tiempo, voy a probar qu\u00e9 pasa con 127, el segundo de los primos a los que seguramente les pase lo mismo.<\/p>\n\n\n\n
Con p = 127, f(2) = 143 = 11\u00b713, pero no encontramos otro hasta f(7) = 17\u00b719 y f(10) = 17\u00b731, que aparentemente no tienen nada que ver con el primero, pero tambi\u00e9n se encuentran a 3 de diferencia, como en el caso de 31. El factor 17 tiene un m\u00faltiplo cerca de 127, 136, exactamente 9 unidades m\u00e1s adelante. Eso nos puede hacer sospechar. Lamentablemente, los siguientes primos anteriores a potencias de 3 son muy grandes, pero si tuvi\u00e9semos calculadora podr\u00edamos probar y ver que en efecto a todos les ocurre algo as\u00ed. El siguiente es 8191, y podemos comprobar que f(1) = 5\u00b711\u00b7149 y<\/p>\n\n\n\n
f(4) = 5\u00b713\u00b7127.<\/p>\n\n\n\n
Algo pasa, por tanto, con el n\u00famero p + 9. Puesto que p + 1 es una potencia de 2, p + 9 no puede serlo, si p es mayor que 10, ya que las potencias de 2 est\u00e1n m\u00e1s separadas a partir de 8. Por tanto, supongamos que q es un divisor impar de p + 9. En este caso, podemos usar (q + 3)\/2 o bien (q \u2013 3)\/2, que observamos que se diferencian exactamente en 3 unidades. Basta probar con uno de ellos, todos son menores que p \u2013 1, claramente, ya que p + 9 es divisible al menos por 8.<\/p>\n\n\n\n
f((q + 3)\/2) = 4((q + 3)\/2)\u00b2 + p = q\u00b2 + 6q + 9 + p, y de nuevo el n\u00famero es claramente divisible por q, por ser m\u00faltiplo de q los dos primeros sumandos, y haber elegido un q que divide a p + 9.<\/p>\n\n\n\n
Al final, vemos que 3 y 7 son casos especiales, ya que en el caso de 7, ni 7 + 1 ni 7 + 9 tienen divisores impares, y en el caso de 3, 3 + 1 no tiene y 3 + 9 = 12, s\u00f3lo tiene el divisor 3, pero los n\u00fameros en los que se encuentra (3 + 3)\/2 es demasiado grande (la x es igual a 3) y (3 \u2013 3)\/2 ocasiona un n\u00famero en p(x) que es exactamente 3, con lo que, a pesar de ser divisible por 3, es primo.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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