{"id":3720,"date":"2026-09-11T18:12:43","date_gmt":"2026-09-11T18:12:43","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3720"},"modified":"2026-09-11T18:12:45","modified_gmt":"2026-09-11T18:12:45","slug":"solucion-a-encuentra-los-cuadrados","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2026\/09\/11\/solucion-a-encuentra-los-cuadrados\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a \u00abEncuentra los cuadrados\u00bb"},"content":{"rendered":"
Problema 2 de la Fase Local de la LXII Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n\n\n
Encuentra todos los enteros no negativos a, b, c que cumplen que 3a<\/sup> + 3b<\/sup> + 3c <\/sup>es un cuadrado perfecto.<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
Soluci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
Lo primero es tantear un poco. Vemos que 3 + 3 + 3 = 9 y que 3\u00b3 + 3\u00b3 + 3\u00b3 = 81 que tambi\u00e9n lo es, as\u00ed que pronto podemos formular la hip\u00f3tesis de que los \u00fanicos enteros no negativos ser\u00edan los que fuesen iguales e impares.<\/p>\n\n\n\n
Es f\u00e1cil probar que si a es un entero no negativo impar, tenemos que a = 2n + 1 para alg\u00fan n, con lo que 3a<\/sup> + 3a<\/sup> + 3a<\/sup> = 32n<\/sup>(3 + 3 + 3) = 32n<\/sup>\u00b79 que es el cuadrado de 3n<\/sup>\u00b73.<\/p>\n\n\n\n
Ahora, vamos a ver que con ninguna otra combinaci\u00f3n de a, b y c se puede lograr este objetivo.<\/p>\n\n\n\n
Si fuesen iguales, pero fuesen una potencia par, tendr\u00edamos que la suma ser\u00eda 3\u00b732n<\/sup>, que es el triple de un cuadrado, por lo que no podr\u00eda ser un cuadrado (es obvio que en la factorizaci\u00f3n prima de un cuadrado, todos los primos deben estar elevados a una potencia par).<\/p>\n\n\n\n
Ahora viene la parte m\u00e1s dif\u00edcil, que es estudiar los casos diferentes que se presentan si son distintos. Supongamos, sin p\u00e9rdida de generalidad, que a es el menor de los tres enteros no negativos, y que esa suma con la que vamos a trabajar es un cuadrado perfecto y llegaremos a alguna contradicci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n
Definimos r = b \u2013 a y s = c \u2013 a. Si sacamos factor com\u00fan la potencia 3a<\/sup>, tenemos que el n\u00famero que buscamos se transforma en 3a<\/sup>(1 + 3r<\/sup> + 3s<\/sup>), donde bien r o bien s no son 0. Evidentemente, el n\u00famero 1 + 3r<\/sup> + 3s<\/sup> no puede ser un m\u00faltiplo de 3, por lo que a debe ser par y 1 + 3r<\/sup> + 3s<\/sup> debe ser un cuadrado perfecto.<\/p>\n\n\n\n
Todos los cuadrados que no son m\u00faltiplos de 3 son de la forma 3n + 1, porque (3n + 1)\u00b2 = 3(3n\u00b2 + 2n) + 1 y (3n \u2013 1)\u00b2 = 3(3n\u00b2 \u2013 2n) + 1 (tambi\u00e9n se puede razonar por restos m\u00f3dulo 3). Por lo tanto, est\u00e1 claro que ni r ni s pueden ser cero, ya que el n\u00famero ser\u00eda de la forma 3n + 2.<\/p>\n\n\n\n
Despu\u00e9s de trabajar bastante m\u00f3dulo 4, es decir, pensando en la multiplicidad por 4, he visto que no llegaba a una contradicci\u00f3n r\u00e1pida. Sin embargo, tras mucho pensar, optando por el m\u00f3dulo 8 sale m\u00e1s claro. Resulta que si tengo un n\u00famero al cuadrado, debe ser de la forma 8n, 8n + 1 o bien 8n + 4. Un estudio detallado nos relaciona los 8 posibles restos con uno de estos tres casos.<\/p>\n\n\n\n
Por otra parte, las potencias de 3 s\u00f3lo pueden ser de la forma 8n + 3 o bien 8n + 1, como se puede razonar multiplicando una y otra vez por 3 volviendo a 0 cada vez que llegas a 8.<\/p>\n\n\n\n
Pero claro, en ese caso, seg\u00fan sean de un tipo u otro, tenemos que 1 + 3r<\/sup> + 3s<\/sup> o bien es de la forma 8n + 3, o es de la forma 8n + 5, o bien es de la forma 8n + 7, y por tanto es imposible que sea un cuadrado perfecto. As\u00ed llegamos a una contradicci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n
Nota 1. Explicaci\u00f3n de que todas las potencias de 3 son de esas dos formas. Est\u00e1 claro que 3\u2070 = 1 es de la forma 8n + 1. Si multiplicamos por 3 una potencia de la forma 8n + 1, pasamos a 24n + 3, es decir, 8(3n) + 3. si multiplicamos una de la forma 8n + 3, pasamos a 24n + 9 = 8(3n + 1) + 1.<\/p>\n\n\n\n
Nota 2. Explicaci\u00f3n de que todas los cuadrados son de esas tres formas.<\/p>\n\n\n\n
(8n)\u00b2 = 8(8n\u00b2)<\/p>\n\n\n\n
(8n + 1)\u00b2 = 8(8n\u00b2 + 2n) + 1<\/p>\n\n\n\n
(8n + 2)\u00b2 = 8(8n\u00b2 + 4n) + 4<\/p>\n\n\n\n
(8n + 3)\u00b2 = 8(8n\u00b2 + 6n + 1) + 1<\/p>\n\n\n\n
(8n + 4)\u00b2 = 8(8n\u00b2 + 8n + 2)<\/p>\n\n\n\n
(8n + 5)\u00b2 = 8(8n\u00b2 + 10n + 3) + 1<\/p>\n\n\n\n
(8n + 6)\u00b2 = 8(8n\u00b2 + 12n + 4) + 4<\/p>\n\n\n\n
(8n + 7)\u00b2 = 8(8n\u00b2 + 14n + 6) + 1<\/p>\n\n\n\n
Si te fijas, los primeros dos sumandos son claramente m\u00faltiplos de 8, la gran diferencia est\u00e1 en el cuadrado del otro sumando, por eso resulta m\u00e1s sencillo estudiar s\u00f3lo los restos de los cuadrados.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Problema 2 de la Fase Local de la LXII Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Encuentra todos los enteros no negativos a, b, c que cumplen que 3a + 3b + 3c es un cuadrado perfecto. Soluci\u00f3n:<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1738,2242029,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-3720","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiadas","category-ome","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3720","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3720"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3720\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3721,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3720\/revisions\/3721"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3720"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3720"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3720"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}