{"id":376,"date":"2018-02-09T21:25:42","date_gmt":"2018-02-09T21:25:42","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=376"},"modified":"2018-09-20T21:03:30","modified_gmt":"2018-09-20T21:03:30","slug":"solucion-a-un-angulo-en-un-pentagono","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2018\/02\/09\/solucion-a-un-angulo-en-un-pentagono\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a un \u00e1ngulo en un pent\u00e1gono"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 4 de la Olitele (Olimpiada Telem\u00e1tica de Catalu\u00f1a) 2017\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>En un pent\u00e1gono inscrito en una circunferencia ABCDE trazamos las diagonales AD y BE, que se cortan en F.<\/p>\n<p>Suponiendo conocidos los \u00e1ngulos internos del pent\u00e1gono en A (BAE), en E (AED) y en C (DCB), calcular el \u00e1ngulo entre las diagonales AFB.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-370\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/02\/29.Anguloenpentagono.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/02\/29.Anguloenpentagono.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/02\/29.Anguloenpentagono-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n: <!--more--><\/p>\n<p>En estos problemas de geometr\u00eda, en los que aparece una circunferencia, es fundamental conocer la propiedad del \u00e1ngulo central. El \u00e1ngulo desde el centro hacia un segmento mide el doble que desde cualquier punto de una circunferencia, pero siempre que se mida en el mismo sentido. Eso quiere decir que si estamos al otro lado del segmento, desde otro punto de la circunferencia no medir\u00e1 lo mismo el \u00e1ngulo, medir\u00e1 el suplementario (sumar\u00e1 180 grados con el del otro lado).<\/p>\n<p>En este caso, el \u00e1ngulo DCB suma 180 grados con los \u00e1ngulo DEB y DAB, puesto que A y E est\u00e1n al otro lado del segmento DB, y ah\u00ed est\u00e1 la clave.<\/p>\n<p>Otra manera diferente de abordar el problema es trazar todos los radios desde el centro, generar tri\u00e1ngulos is\u00f3sceles (pues todos los radios miden lo mismo), y razonar con los \u00e1ngulos que se construya con ellos, pero ser\u00e1 mucho m\u00e1s costoso. Es equivalente, ya que la propiedad a a la que hacemos referencia se puede deducir de la existencia de estos tri\u00e1ngulos.<\/p>\n<p>El caso es que para conseguir ese \u00e1ngulo, podemos tratar de conseguir AFE.<\/p>\n<p>Vamos a marcar los \u00e1ngulos conocidos. El valor de DCB es c, el valor de AED es e y el valor de BAE es a. Por estar en una circunferencia, DEB vale 180 \u2013 c y tambi\u00e9n DAB mide lo mismo. Como e = DEB + FEA, podemos tener que FEA es e + c \u2013 180, y de la misma forma FAE es a + c \u2013 180.<\/p>\n<p>Como A, F y E forman un tri\u00e1ngulo, sus tres \u00e1ngulos suman 180 grados, as\u00ed que 180 = AFE + e + c \u2013 180 + a + c \u2013 180 = AFE + a + e + 2c \u2013 360. De ah\u00ed, deducimos que AFE = 540 \u2013 a \u2013 e \u2013 2c.<\/p>\n<p>Como AFB y AFE suman 180, tenemos que 180 = 540 \u2013 a \u2013 e \u2013 2c + x, de forma que x = a + e + 2c \u2013 360, medido en grados.<\/p>\n<p>Es decir, que el \u00e1ngulo buscado ser\u00e1 el resultado de quitar una vuelta completa a la suma de los \u00e1ngulos internos de A, B y dos veces C.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 4 de la Olitele (Olimpiada Telem\u00e1tica de Catalu\u00f1a) 2017 Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os En un pent\u00e1gono inscrito en una circunferencia ABCDE trazamos las diagonales AD y BE, que se cortan en F. 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