\u00bfDe cu\u00e1ntas maneras se puede escribir 111 como suma de tres n\u00fameros enteros en progresi\u00f3n geom\u00e9trica?<\/p>\n
![\"\"](\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/02\/30.Sumar111-300x184.png\")
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En la imagen vemos tres n\u00fameros enteros, en este caso positivos, que forman una progresi\u00f3n geom\u00e9trica (con representaci\u00f3n geom\u00e9trica, adem\u00e1s). Recordad que una progresi\u00f3n geom\u00e9trica es aquella en la que, a partir del segundo t\u00e9rmino, cada uno de ellos es igual al anterior por una cantidad constante.<\/p>\n
Soluci\u00f3n:
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\u00a1Atenci\u00f3n! Se trata de un problema muy largo, seg\u00fan yo lo veo.<\/p>\n
Este problema, de apariencia sencilla, supuso un reto importante para todos los participantes, ya que era f\u00e1cil dejar escapar alguna posibilidad.<\/p>\n
Algebraicamente, tres n\u00fameros en progresi\u00f3n geom\u00e9trica ser\u00edan a, x\u00b7a y x\u00b2\u00b7a. Por lo tanto, la identidad que pretendemos resolver es 111 = a + ax + ax\u00b2, pero encontrar s\u00f3lo las soluciones en las que a, x\u00b7a y x\u00b2\u00b7a sean n\u00fameros enteros, positivos o negativos. Sin embargo, x puede ser un n\u00famero entero o bien un n\u00famero racional. No podr\u00eda ser, por ejemplo, irracional, ya que xa debe ser entero.<\/p>\n
Es evidente que se puede factorizar como 111 = a(1 + x + x\u00b2), y a partir de ah\u00ed, la soluci\u00f3n oficial opta por transformar el segundo factor en p\/q y trabajar con las diferentes posibilidades de p y q.<\/p>\n
Me pareci\u00f3 m\u00e1s intuitivo tratar de resolver a partir del entero a el valor de x, razonando que pod\u00edamos convertir en una ecuaci\u00f3n de segundo grado la igualdad anterior, algo como ax\u00b2 + ax + a \u2013 111 = 0, de forma que en ese caso, x = (-a+ra\u00edz(a\u00b2 \u2013 4\u00b7a\u00b7(a \u2013 111)))\/2a, donde tenemos dos soluciones seg\u00fan el signo de la ra\u00edz.<\/p>\n
Eso quiere decir que el contenido de la ra\u00edz debe poder ser un cuadrado perfecto, ya que de no ser as\u00ed, x ser\u00eda irracional, por lo que la expresi\u00f3n a\u00b2 \u2013 4\u00b7a\u00b7(a \u2013 111) es un cuadrado perfecto. Eso limita mucho los valores de a. Esa expresi\u00f3n, quitando par\u00e9ntesis, se transforma en a\u00b2 \u2013 4\u00b7a\u00b2 +444a = 444a \u2013 3a\u00b2, que es una expresi\u00f3n de segundo grado.<\/p>\n
Es f\u00e1cil saber cu\u00e1ndo esa expresi\u00f3n alcanza su valor m\u00ednimo, en cero, en los casos en que a vale 0 o bien a vale 148 (444\/3), y en ambos casos tenemos valores v\u00e1lidos para nuestra x. Pero al ser de segundo grado, su valor m\u00e1s alto lo alcanza en el punto medio, en 74, en el que alcanza un valor de 16428. Este es un valor muy alto para ir probando uno por uno, as\u00ed que debemos sacar factores comunes. Aunque a es un factor com\u00fan en la expresi\u00f3n, no conocemos mucho de \u00e9l, de forma que no es conveniente. R\u00e1pidamente, encontramos el valor 3, que es un factor com\u00fan. Como es un cuadrado perfecto, deber\u00edamos poder sacar dos factores 3, de forma que la expresi\u00f3n (148a \u2013 a\u00b2)\/3 debe ser entero y un cuadrado perfecto. Eso deja el valor m\u00e1s alto posible en 1825, aproximadamente, que est\u00e1 pr\u00f3ximo al cuadrado de 42. Esto es m\u00e1s razonable, y podemos tantear usando esos 42 cuadrados.<\/p>\n
Para tantear m\u00e1s c\u00f3modo, supondremos la igualdad (148a \u2013 a\u00b2)\/3 = n\u00b2 para cada uno de ellos, de donde sacamos el valor de a. Quitando denominadores, tenemos que 148a \u2013 a\u00b2 = 3n\u00b2, por lo que 0 = 3n\u00b2 \u2013 148a + a\u00b2, y por tanto a = (148 + ra\u00edz(21904 \u2013 12n\u00b2)) \/ 2.<\/p>\n
Analizamos ahora los diferentes valores. Podemos dividir la expresi\u00f3n entre 2 para hacer m\u00e1s f\u00e1cil la prueba, ya que tambi\u00e9n saldr\u00e1 un cuadrado, claro. As\u00ed, a = 74 + ra\u00edz(5476 \u2013 3n\u00b2) La expresi\u00f3n con la que he probado es con 5476 \u2013 3n\u00b2, poniendo una tabla de cuadrados hasta el 73 (conviene preparar una tabla con los cuadrados, es muy sencillo hacerlo a mano, sumando cada vez un impar, y a la vista de la f\u00f3rmula, tambi\u00e9n los triples).<\/p>\n
Si n vale 0, la ra\u00edz da 74, y tenemos que a puede valer 148 o bien cero, con lo que x vale -1\/2 en el primer caso, y no se puede calcular (no sirve como progresi\u00f3n que sume 111) en el segundo. Primera progresi\u00f3n, 148, -74 y 37.<\/p>\n
Si n vale 1 no sale un cuadrado. Tampoco para 2, ni para 3, 4, 5, o 6.<\/p>\n
Sin embargo, para 7 s\u00ed funciona, vemos que 5476 \u2013 3\u00b749 es el cuadrado de 73. Eso nos lleva a que a = 147, y usando esa informaci\u00f3n, calcular x como -3\/7, lo que da unos enteros como 147, -63 y 27.<\/p>\n
Con el mismo valor de a = 147, podemos obtener un valor de x de -4\/7, lo que nos lleva en ese caso a 147, -84 y 48.
\nPara el mismo valor de n = 7, tenemos que a puede valer tambi\u00e9n 1, con lo que en ese caso tenemos que x puede valer 10, y tendr\u00edamos 1, 10 y 111.<\/p>\n
Y si a = 1, otro valor posible para la x es -11, lo que lleva a 1, -11 y 121.<\/p>\n
Sigamos variando la n, tenemos que no vuelve a salir bien (en algunos casos por muy poco) hasta que la n vale 33, en el que 5476 \u2013 3n\u00b2 es el cuadrado de 47. De nuevo, la a puede valer dos cosas. Si a vale 121, la x puede valer -1\/11, con lo que tenemos 121, -11 y 1.<\/p>\n
Con la a = 121, tambi\u00e9n puede ser que x valga -10\/11, y tendr\u00edamos 121, -110 y 100.<\/p>\n
Y si la a = 27, tenemos el valor de x = 4\/3, que da 27, 36 y 48.<\/p>\n
Tambi\u00e9n para la a = 27, tenemos que x = -7\/3, y da 27, -63 y 147.<\/p>\n
El siguiente valor de n para el que esa ra\u00edz da entera es 37, y en ese caso, el valor de la ra\u00edz es precisamente 37.<\/p>\n
En ese caso, la a puede valer 111, y la x puede valer 0, as\u00ed que tendr\u00edamos 111, 0 y 0.<\/p>\n
Tambi\u00e9n para a = 111, x = -1, y entonces tendr\u00edamos 111, -111 y 111.<\/p>\n
Con esa misma n = 37, a puede valer 37, y en ese caso x puede valer 1. Da 37, 37 y 37.<\/p>\n
Si a = 37, por \u00faltimo, x puede valer -2, teniendo 37, -74, 148.<\/p>\n
Seguimos probando valores de n, y llegamos a n = 40. En ese caso, la ra\u00edz da 26. y la a puede ser 100. En ese caso, x puede valer 1\/10, y tenemos 100, 10 y 1.<\/p>\n
Con a = 100, tambi\u00e9n puede ser x = -11\/10, y tenemos 100, -110 y 121.<\/p>\n
Pero con el mismo valor de n tambi\u00e9n a puede ser 48, y en ese caso, la x puede valer 3\/4, con lo que tendr\u00edamos 48, 36 y 27.<\/p>\n
Y para a = 48, tenemos que x puede ser -7\/4, que proporciona 48, -84 y 147.<\/p>\n
Y para 41 y 42 no da ning\u00fan cuadrado, de forma que estas son todas las posibilidades que hay, ya que para valores superiores la ra\u00edz da negativa.<\/p>\n
Las f\u00f3rmulas que he usado, en resumen, ser\u00eda, partiendo de n, y la tabla de cuadrados, calcular 5476 \u2013 n\u00b2 y ver si est\u00e1 en la tabla, anotas la ra\u00edz entera r. Calculas luego a como 74 + r o bien como 74 \u2013 r. Y por \u00faltimo, sacas x como (-a + 3n)\/(2a) o bien como (-a \u2013 3n)\/(2a). Cada valor de n, excepto el primero, da lugar a cuatro posibilidades.<\/p>\n
Hay un total de 17 diferentes casos. En realidad, muchas de ellos est\u00e1n compuestas de los mismos n\u00fameros, ya que empezamos por delante o por detr\u00e1s. S\u00f3lo 111, 0, 0, 37, 37, 37 y 111, -111, 111 no se repiten. Si las contamos as\u00ed, se reducen a 10 casos.<\/p>\n
Sugiero leer tambi\u00e9n la soluci\u00f3n oficial, que omite ciertos casos, que yo creo que tambi\u00e9n habr\u00eda que comparar a mano, pero que parece m\u00e1s breve que la m\u00eda.<\/p>\n
Tabla de cuadrados (la dificultad de hacer este c\u00e1lculo a mano es evidente, las diferencias las hago para calcular r\u00e1pido y corregir posibles errores):<\/p>\n
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