{"id":434,"date":"2018-03-10T07:56:34","date_gmt":"2018-03-10T07:56:34","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=434"},"modified":"2018-09-20T21:04:47","modified_gmt":"2018-09-20T21:04:47","slug":"solucion-a-el-robot-itinerante","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2018\/03\/10\/solucion-a-el-robot-itinerante\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a el robot itinerante"},"content":{"rendered":"
Problema 6 de la Olitele (Olimpiada Telem\u00e1tica de Catalu\u00f1a) 2017\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Un robot circula por un plano coordenado de la forma que marca el dibujo.<\/p>\n
As\u00ed, tras llegar al punto (7, 0), avanzar\u00e1 una unidad en horizontal hasta el (8, 0), subir\u00e1 en vertical 8 unidades hasta el (8, 8) y retroceder\u00e1 en horizontal ocho unidades hasta el (0, 8), y as\u00ed sucesivamente.<\/p>\n
Si cada unidad del plano mide un cent\u00edmetro, \u00bfen qu\u00e9 coordenadas se encontrar\u00e1 cuando haya recorrido exactamente 2017 cent\u00edmetros?<\/p>\n
\"\"<\/p>\n
Soluci\u00f3n:
\n
\nParte del dibujo puede recordar la suma de una progresi\u00f3n aritm\u00e9tica, o tal vez un cuadrado. Y es por ah\u00ed por donde vamos a empezar, descubrir un patr\u00f3n que cada cierto tiempo pueda darnos una progresi\u00f3n y poder calcular de vez en cuando sumas, de forma sencilla, hasta encontrar qu\u00e9 vuelta estar\u00e1 dando cuando llegue a 2017 cent\u00edmetros.<\/p>\n
Podemos fijarnos, por ejemplo, en los momentos en los que llega al eje horizontal, o en los que sale (total, la diferencia es de 1), o en los que llega al eje vertical (o en los que sale). Para concretar, vamos a empezar por los momentos en los que llega al eje vertical, en los que el siguiente movimiento es subir una unidad vertical.<\/p>\n
La primera vez que pasa, ha recorrido 0. La segunda vez (que llega al (0, 2)), ha recorrido nada menos que 8 cent\u00edmetros. La tercera vez (llega al (0, 4)), ha recorrido 16 m\u00e1s, lo que hace un total de 24. La cuarta vez (llega al (0, 6)), habr\u00e1 recorrido 24 m\u00e1s, lo que hace un total de 48.<\/p>\n
Lo que parece ser una progresi\u00f3n aritm\u00e9tica es la cantidad de cent\u00edmetros recorridos desde una vez a otra (0, 8, 16, 24), que empieza por 0 y tiene una diferencia de 8. Vamos a comprobarlo.<\/p>\n
Supongamos que es cierto hasta un valor n. Habr\u00e1 llegado, seg\u00fan hemos visto, hasta la posici\u00f3n (0, 2n \u2013 2). Recorrer\u00e1 una unidad hacia arriba, hasta el (0, 2n \u2013 1), y, despu\u00e9s, 2n \u2013 1 unidades a la derecha hasta la posici\u00f3n (2n \u2013 1, 2n \u2013 1). Otras 2n \u2013 1 unidades hacia abajo hasta el (2n \u2013 1, 0), una m\u00e1s a la derecha ((2n, 0)) y 2n arriba y 2n a la izquierda, lo que le lleva al (2n, 2n) y al (0, 2n). En total, habr\u00e1 recorrido 1 + 2n \u2013 1 + 2n \u2013 1 + 1 + 2n + 2n = 8n, que es exactamente lo que predice la progresi\u00f3n aritm\u00e9tica (0 + 8\u00b7(n + 1 \u2013 1)) para la posici\u00f3n n + 1. y que llega a la posici\u00f3n (0, 2\u00b7(n + 1) \u2013 2), que es realmente el (0, 2n). De esta forma, por inducci\u00f3n, hemos comprobado que s\u00ed pasa de esta forma.<\/p>\n
Vale, ahora sabemos que para cada vez que llegue al eje vertical habr\u00e1 sumado los t\u00e9rminos de la progresi\u00f3n hasta ese momento, que sabemos que para n t\u00e9rminos ser\u00e1 (0 + 8\u00b7(n \u2013 1))\u00b7n \/2 = 8\u00b7(n \u2013 1)\u00b7n\/2 = 4\u00b7n\u00b7(n \u2013 1). Si hubi\u00e9semos optado por otra posici\u00f3n, la f\u00f3rmula podr\u00eda haber cambiado ligeramente.<\/p>\n
Ahora tenemos que ver cuando ese valor est\u00e1 cerca de 2017, que es como si resolvi\u00e9semos una ecuaci\u00f3n, pero igual no da exacto, nos quedaremos con el valor entero m\u00e1s pr\u00f3ximo por debajo.<\/p>\n
Si 4\u00b7n\u00b7(n \u2013 1) = 2017, tenemos la ecuaci\u00f3n 4n\u00b2 \u2013 4n = 2017, es decir, 4n\u00b2 \u2013 4n \u2013 2017 = 0. Aplicando la f\u00f3rmula de la ecuaci\u00f3n de segundo grado (la variante positiva, que la negativa da n\u00fameros negativos que no tienen sentido aqu\u00ed), tenemos que n = (4 + ra\u00edz(16 + 4\u00b74\u00b72017))\/8. Podemos sacar factor com\u00fan 16 de los elementos de la ra\u00edz, y eso facilita los c\u00e1lculos, ya que es igual que 4 + 4\u00b7ra\u00edz(1 + 2017))\/8 = (1 + ra\u00edz(2018))\/2. Podemos ver que la ra\u00edz de 2018 est\u00e1 por debajo de 45, por lo que el \u00faltimo n v\u00e1lido ser\u00e1 (1 + 43)\/2 = 22.<\/p>\n
Para ese valor (cuando llegue a la posici\u00f3n (0, 42)) habr\u00e1 recorrido 4\u00b722\u00b721, que da 1848 cent\u00edmetros recorridos. Despu\u00e9s, subir\u00e1 uno hacia arriba (1849) al (0, 43), se mover\u00e1 43 a la derecha (1892) al (43, 43), bajar\u00e1 43 (1935) al (0, 43), se mover\u00e1 uno a la derecha (1936) al (0, 44), 44 hacia arriba (1980) al (44, 44). Si se mueve 44 a la izquierda, sumar\u00eda m\u00e1s de 2017, por lo que s\u00f3lo se puede mover 37 a la izquierda y en ese momento estar\u00e1 en la posici\u00f3n (7, 44), que es la respuesta correcta.<\/p>\n
Seguramente habr\u00eda sido mucho m\u00e1s sencillo tomar un valor de n una unidad mayor y \u201cretroceder\u201d a la b\u00fasqueda de la posici\u00f3n adecuada.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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