{"id":447,"date":"2018-03-23T19:21:43","date_gmt":"2018-03-23T19:21:43","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=447"},"modified":"2018-09-20T20:57:20","modified_gmt":"2018-09-20T20:57:20","slug":"solucion-a-un-trapecio-y-dos-cuadrados","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2018\/03\/23\/solucion-a-un-trapecio-y-dos-cuadrados\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a un trapecio y dos cuadrados"},"content":{"rendered":"
Problema 8 de la Olitele (Olimpiada Telem\u00e1tica de Catalu\u00f1a) 2017\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
En un cuadril\u00e1tero como el de la figura, con dos lados paralelos, encajamos dos cuadrados diferentes, con un lado en cada uno de los lados paralelos. Un v\u00e9rtice de cada cuadrado coincide con uno de dos de los v\u00e9rtices opuestos del trapecio, y otro de los v\u00e9rtices de ambos cuadrados coinciden entre s\u00ed.<\/p>\n
Conocemos la longitud de la diagonal del trapecio AC (que coincide con los lados de los cuadrados), y el \u00e1rea del trapecio. Se pide calcular la suma del \u00e1rea de ambos cuadrados.<\/p>\n
\"\"Soluci\u00f3n<\/p>\n
Es evidente que el espacio en blanco corresponde a cuatro tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos, que son semejantes.<\/p>\n
Es facil verlo, ya que dos de ellos tienen exactamente los mismos catetos (los dos lados de los cuadrados), por lo que son iguales, y los otros dos tienen lados paralelos a los que son iguales, con lo que son claramente semejantes. Para facilitar los c\u00e1lculos, vamos a llamar x e y a los lados de los cuadrados. Para aclararnos, x en el dibujo es el lado del grande, que comparte v\u00e9rtice con el punto A, mientras que y es el cuadrado del peque\u00f1o, el que tiene un v\u00e9rtice en C.<\/p>\n
Los datos que tenemos son S, el \u00e1rea del trapecio, y p, que ser\u00eda la longitud AC. Lo que queremos es determinar de alguna manera la suma de las \u00e1reas de los dos cuadrados, que llamaremos T.<\/p>\n
De momento, la primera tarea es relacionar esos tres datos con x e y, las longitudes de los lados de los cuadrados.<\/p>\n
Es evidente que T=x\u00b2 + y\u00b2. Y que p = x + y. Para hallar el \u00e1rea del trapecio ABCD, podemos usar la f\u00f3rmula del \u00e1rea del trapecio, pero suele ser mejor idea descomponerlo en figuras m\u00e1s sencillas (para eso usamos el dibujo) y sumar esas \u00e1reas. Ya tenemos los dos cuadrados. Los tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos medianos que son iguales tienen dos catetos que valen x e y, de forma que su \u00e1rea es x\u00b7y\/2 cada uno, es decir, entre ambos suman x\u00b7y.<\/p>\n
El tri\u00e1ngulo que tiene un v\u00e9rtice en D es semejante al que tiene un v\u00e9rtice en C, su cateto menor en la imagen mide x, mientras que el cateto menor del que tiene el v\u00e9rtice C es y. Por tanto, la escala entre ambos es x\/y (si multiplicas y por x\/y obtienes x). Como el cateto grande del tri\u00e1ngulo en C mide x, tenemos que el cateto grande del que tiene el v\u00e9rtice en D ser\u00e1 x\u00b7x\/y = x\u00b2\/y., por lo que su \u00e1rea ser\u00e1 x\u00b3\/(2y). Razonando de manera similar, el \u00e1rea del otro tri\u00e1ngulo ser\u00e1 y\u00b3\/(2x), por lo que la igualdad ser\u00e1 S = x\u00b2 + y\u00b2 +xy + x\u00b3\/(2y) + y\u00b3\/(2x).<\/p>\n
Ahora que tenemos las tres igualdades, se trata de eliminar de llas las variables x e y, utilizando \u00e1lgebra.<\/p>\n
T = x\u00b2 + y\u00b2
\np = x + y
\nS = x\u00b2 + y\u00b2 + xy + x\u00b3\/(2y) + y\u00b3\/(2x)<\/p>\n
Si \u0155educimos a com\u00fan denominador en la expresi\u00f3n tercera, tenemos que 2xyS\/(2xy) = 2x\u00b3y\/(2xy) + 2y\u00b3x\/(2xy) + 2x\u00b2y\u00b2\/(2xy) + x\u2074\/(2xy) + y\u2074\/(2xy). Quitando denominadores y ordenando por el grado en x, por ejemplo, tenemos la expresi\u00f3n 2xyS = x\u2074 + 2x\u00b3y + 2x\u00b2y\u00b2 + 2y\u00b3x + y\u2074.<\/p>\n
Esta \u00faltima expresi\u00f3n recuerda un poco a la potencia cuarta de x + y, que ser\u00eda (x + y)\u2074 = x\u2074 + 4x\u00b3y + 6x\u00b2y\u00b2 + 4y\u00b3x + y\u2074. Si a\u00f1adimos y restamos lo que necesitamos, tendr\u00edamos que 2xyS = (x + y)\u2074 – (2x\u00b3y + 4x\u00b2y\u00b2 + 2y\u00b3x), con lo que la expresi\u00f3n pierde el t\u00e9rmino m\u00e1s grande. Hay que tener en cuenta que x + y = p, as\u00ed que en realidad la potencia cuarta ya no depende de x e y realmente.<\/p>\n
Otro paso ser\u00eda sacar factor com\u00fan del contenido de par\u00e9ntesis, y quedar\u00eda 2xyS = (x + y)\u2074 \u2013 2xy(x\u00b2 + 2xy + y\u00b2) y por tanto lo del dentro del par\u00e9ntesis es exactamente el cuadrado de la suma, de forma que 2xyS = (x + y)\u2074 \u2013 2xy(x + y)\u00b2 = p\u2074 \u2013 2xyp\u00b2.<\/p>\n
Recapacitemos:
\nT = x\u00b2 + y\u00b2
\np = x + y
\n2xyS = p\u2074 \u2013 2xyp\u00b2<\/p>\n
El factor 2xy ha aparecido para que podamos convertir la larga expresi\u00f3n de x e y en algo relacionado con p. Podemos hacer algo similar con T, ya que x\u00b2 + y\u00b2 = (x + y)\u00b2 \u2013 2xy, por lo que T = p\u00b2 \u2013 2xy. Si usamos la igualdad con T y la igualdad con S para despejar y sustituir 2xy, podemos lograr una expresi\u00f3n sin x ni y.<\/p>\n
T = p\u00b2 \u2013 2xy lleva a que 2xy = p\u00b2 \u2013 T, por lo que la expresi\u00f3n queda (p\u00b2 \u2013 T)S = p\u2074 \u2013 (p\u00b2 \u2013 T)p\u00b2 = p\u2074 \u2013 p\u2074 \u2013 Tp\u00b2 = – Tp\u00b2 .<\/p>\n
Como lo que tenemos que calcular es T, basta despejarla de la igualdad, de forma que (p\u00b2 \u2013 T)S = -Tp\u00b2 lleva a Sp\u00b2 \u2013 TS + Tp\u00b2 = 0 por lo que Sp\u00b2 = TS \u2013 Tp\u00b2 = T(S \u2013 p\u00b2), y as\u00ed se da que T = Sp\u00b2\/(S \u2013 p\u00b2).<\/p>\n
Esta f\u00f3rmula (T = Sp\u00b2\/(S \u2013 p\u00b2)) es la que buscamos.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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