{"id":457,"date":"2018-03-30T19:57:59","date_gmt":"2018-03-30T19:57:59","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=457"},"modified":"2018-09-20T20:57:48","modified_gmt":"2018-09-20T20:57:48","slug":"solucion-a-producto-de-productos-notables","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2018\/03\/30\/solucion-a-producto-de-productos-notables\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a producto de productos notables"},"content":{"rendered":"
Problema 9 de la Olitele (Olimpiada Telem\u00e1tica de Catalu\u00f1a) 2017\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Sabemos que x e y son dos n\u00fameros positivos, de forma que x es mayor que y y cumplen las dos relaciones siguientes para dos n\u00fameros racionales concretos A y B:<\/p>\n
(x + y)(x\u00b2 \u2013 y\u00b2) = A<\/p>\n
(x \u2013 y)(x\u00b2 + y\u00b2) = B<\/p>\n
Calcula el valor de x\/y.<\/p>\n
\"\"<\/p>\n
Soluci\u00f3n:
\n
\nEst\u00e1 claro que en la primera ecuaci\u00f3n podemos factorizar, de forma que (x + y)\u00b2(x \u2013 y) = A. As\u00ed, ambas ecuaciones quedan con un factor positivo (x \u2013 y), de forma que al dividir ambos extremos de la igualdad, quedar\u00eda (x + y)\u00b2\/(x\u00b2 + y\u00b2) = A\/B.<\/p>\n
Como buscamos x\/y, dividiendo en el denominador y el numerador de la primera fracci\u00f3n por y\u00b2 queda una expresi\u00f3n que s\u00f3lo depende de x\/y, (x\/y + 1)\u00b2\/(x\u00b2\/y\u00b2 + 1) = A\/B.<\/p>\n
Transformando z = x\/y, tenemos que (z + 1)\u00b2\/(z\u00b2 + 1) = A\/B.<\/p>\n
Si has tenido dificultades con esta simplificaci\u00f3n, tambi\u00e9n es posible sustituir x = z\u00b7y, y extraer y simplificar el factor y\u00b2. Ten en cuenta al dividir por y\u00b2 que, como en el numerador hay dos factores, cada uno queda dividido por una y, mientras que ambos sumandos del denominador se dividen por y\u00b2.<\/p>\n
Ahora, reducimos a com\u00fan denominador y eliminamos este denominador, de forma que tenemos la expresi\u00f3n (z + 1)\u00b2B = (z\u00b2 + 1)A, y desarrollando, queda la ecuaci\u00f3n Bz\u00b2 + 2Bz + B = Az\u00b2 + A, que recuerda a una ecuaci\u00f3n de segundo grado en z.<\/p>\n
Volvamos al primer p\u00e1rrafo. Como x e y son n\u00fameros positivos, (x + y)\u00b2 es algo mayor que x\u00b2 + y\u00b2, as\u00ed que A es mayor que B. Por lo tanto, restaremos la parte donde hay B, y tenemos que la ecuaci\u00f3n queda 0 = (A \u2013 B)z\u00b2 \u2013 2Bz + (A \u2013 B). Como aparece dos veces el coeficiente A \u2013 B, podemos dividir por \u00e9l, quedando 0 = z\u00b2 \u2013 2B\/(A \u2013 B)z + 1.<\/p>\n
Por tanto, las dos soluciones de la ecuaci\u00f3n podr\u00e1n ser respuestas al valor de x\/y, siempre y cuando se trate de n\u00fameros mayores que 1. De momento, llamaremos q a B\/(A \u2013 B) para abreviar.<\/p>\n
La expresi\u00f3n de z ser\u00e1 z = (2q + ra\u00edz(4q\u00b2 \u2013 4) )\/2 = q + ra\u00edz(q\u00b2 \u2013 1), mientras que la otra soluci\u00f3n ser\u00eda z = q \u2013 ra\u00edz(q\u00b2 \u2013 1).<\/p>\n
Hay que tener en cuenta que q debe ser mayor que 1 para que se puedan dar las igualdades (en caso contrario, no existir\u00e1 ning\u00fan valor de z), y que, en ese caso, es sencillo ver que la segunda de las posibilidades es menor que 1, de forma que s\u00f3lo hay un valor, la suma (por ejemplo, podemos poner q = s – 1, y escribir la f\u00f3rmula, comprobando que realmente queda menor que 1).<\/p>\n
Si queremos expresar x\/y s\u00f3lo en funci\u00f3n de A y B, sustituimos en la f\u00f3rmula y ponemos denominador com\u00fan, consiguiendo la igualdad siguiente: x\/y = (B + ra\u00edz(2AB \u2013 A\u00b2))\/(B \u2013 A).<\/p>\n
Como se supone que al concursante se le da el valor concreto de A y de B, es sencillo hacer el c\u00e1lculo.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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