{"id":469,"date":"2018-04-07T20:22:40","date_gmt":"2018-04-07T20:22:40","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=469"},"modified":"2018-09-20T20:58:30","modified_gmt":"2018-09-20T20:58:30","slug":"solucion-a-semicircunferencias-en-circunferencia","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2018\/04\/07\/solucion-a-semicircunferencias-en-circunferencia\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a semicircunferencias en circunferencia"},"content":{"rendered":"
Problema 10 de la Olitele (Olimpiada Telem\u00e1tica de Catalu\u00f1a) 2017\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
En el interior de una circunferencia dibujamos dos semicircunferencias tangentes entre s\u00ed de forma que los di\u00e1metros son paralelos y tienen los extremos en puntos de la circunferencia.<\/p>\n
Demuestra que la suma de las \u00e1reas de las dos semicircunferencias es exactamente la mitad del \u00e1rea del c\u00edrculo de la circunferencia inicial.
\n\"\"<\/p>\n
Soluci\u00f3n:
\n
\nPuesto que los radios de las semicircunferencias son perpendiculares a la tangente, ambos radios estar\u00edan sobre la misma recta. Si los continuamos hasta que corten a la circunferencia, tendremos dos puntos de corte que formar\u00e1n, por la simetr\u00eda de la figura, un di\u00e1metro. Llamemos p y q a los segmentos que las prolongan y x e y los radios de las semicircunferencias. Supongamos que p est\u00e1 junto a y y q junto a x.<\/p>\n
El dibujo queda como sigue.
\n\"\"<\/p>\n
Puesto que los puntos extremos de las semicircunferencias est\u00e1n sobre la circunferencia, son v\u00e9rtices de tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos cuya hipotenusa es el di\u00e1metro de la circunferencia original, y su alturas miden lo mismo que los radios x e y.<\/p>\n
Un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo apoyado sobre la hipotenusa es dividido por la altura en dos tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos semejantes con \u00e9l mismo, razonando por igualdad de \u00e1ngulos, y por tanto semejantes entre s\u00ed. De ah\u00ed se deduce el teorema de la altura, aunque eso no imprescindible que lo conozcas.<\/p>\n
Lo importante es que el tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo formado por el segmento p como cateto horizontal y el radio y como vertical, es semejante al formado por el cateto y como vertical y el cateto y + x + q como horizontal, de forma que p\/y = y\/(x + y + q).<\/p>\n
De forma similar, con el otro punto en la circunferencia, logramos probar que q\/x = x\/(x + y + p).<\/p>\n
Eliminando en ambas igualdades los denominadores, queda px + py + pq = y\u00b2, y la otra queda qx + qy + qp = x\u00b2. Si despejamos en una de ellas (por ejemplo, en la primera, la q) y sustituimos en la otra, podemos encontrar una relaci\u00f3n entre p, x e y.<\/p>\n
As\u00ed, pq = y\u00b2 \u2013 px \u2013 py, por lo que q = y\u00b2\/p \u2013 x \u2013 y. Al sustituir en la segunda, tenemos que (y\u00b2\/p \u2013 x \u2013 y)x + (y\u00b2\/p \u2013 x \u2013 y)y + (y\u00b2\/p \u2013 x \u2013 y)p = x\u00b2. Quitamos par\u00e9ntesis, y tenemos xy\u00b2\/p \u2013 x\u00b2 \u2013 xy + y\u00b3\/p \u2013 xy \u2013 y\u00b2 +y\u00b2 \u2013 xp \u2013 yp = x\u00b2.<\/p>\n
Eliminando t\u00e9rminos, llegamos a que xy\u00b2\/p \u2013 2x\u00b2 \u2013 2xy + y\u00b3\/p \u2013 xp \u2013 yp = 0. Ahora, quitamos denominadores multiplicando por p, llegando a xy\u00b2 \u2013 2x\u00b2p \u2013 2xyp + y\u00b3 \u2013 xp\u00b2 \u2013 yp\u00b2 = 0.<\/p>\n
La \u00faltima expresi\u00f3n que hemos obtenido recuerda un poco a una ecuaci\u00f3n de segundo grado cuya inc\u00f3gnita sea p, podemos ordenarla un poco y clarificar los coeficientes: \u2013 xp\u00b2 \u2013 yp\u00b2 \u2013 2x\u00b2p \u2013 2xyp + xy\u00b2 + y\u00b3 = 0. Es decir, -(x + y)p\u00b2 \u2013 2x(x + y)p + y\u00b2(x + y) = 0. Est\u00e1 claro que el factor x + y est\u00e1 presente en todos los t\u00e9rminos y podemos simplificar la ecuaci\u00f3n, pues no vale cero. Cambiando el signo, queda p\u00b2 + 2xp \u2013 y\u00b2 = 0. De esa igualdad, aplicando la ecuaci\u00f3n de segundo grado (o cuadrando por productos notables), llegamos a que p = (-2x + ra\u00edz(4x\u00b2 + 4y\u00b2))\/2 = -x + ra\u00edz(x\u00b2 + y\u00b2). Evidentemente, la opci\u00f3n negativa no tiene sentido en este problema.<\/p>\n
Trabajando exactamente igual con la q, o bien sustituyendo este valor en la ecuaci\u00f3n situada dos p\u00e1rrafos m\u00e1s arriba, tenemos que q = -y + ra\u00edz(x\u00b2 + y\u00b2).<\/p>\n
Ahora, sumando los cuatro segmentos, el di\u00e1metro de la circunferencia, que vale dos veces el radio, ser\u00e1 2r = p + x + y + q = -x + ra\u00edz(x\u00b2 + y\u00b2) + x + y \u2013 y + ra\u00edz(x\u00b2 + y\u00b2) = 2\u00b7ra\u00edz(x\u00b2 + y\u00b2), por lo que r = ra\u00edz(x\u00b2 + y\u00b2).<\/p>\n
De esta forma, el \u00e1rea del c\u00edrculo exterior, Pi\u00b7r\u00b2 = Pi\u00b7(x\u00b2 + y\u00b2) = Pi\u00b7x\u00b2 + Pi\u00b7y\u00b2, que ser\u00eda la suma de las \u00e1reas de las circunferencias peque\u00f1as completas, es decir, el doble de la suma de las \u00e1reas de las semicircunferencias que propone el problema.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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