{"id":478,"date":"2018-04-13T20:05:30","date_gmt":"2018-04-13T20:05:30","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=478"},"modified":"2018-09-20T20:58:59","modified_gmt":"2018-09-20T20:58:59","slug":"solucion-a-extraer-un-par-de-bolas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2018\/04\/13\/solucion-a-extraer-un-par-de-bolas\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a extraer un par de bolas"},"content":{"rendered":"
Problema 11 de la Olitele (Olimpiada Telem\u00e1tica de Catalu\u00f1a) 2017\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
En una bolsa hay n bolas, en cada una de las cuales hay escrito un n\u00famero natural.<\/p>\n
Hacemos el experimento aleatorio de extraer dos bolas de esa bolsa y sumar los n\u00fameros que aparecen.<\/p>\n
Designamos como p la probabilidad de que la suma de ambos n\u00fameros sea par, y q la probabilidad de que sea impar.<\/p>\n
Estudia cu\u00e1les pueden ser los valores de n y qu\u00e9 distribuci\u00f3n han de tener los n\u00fameros de la bolsa para que se cumpla que p = q.\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nSe trata de un problema m\u00e1s interesante de lo que parece.<\/p>\n
En un principio, debemos intentar probar peque\u00f1as combinaciones para ver qu\u00e9 funciona o qu\u00e9 no.<\/p>\n
Puesto que s\u00f3lo nos interesa si la suma es par o impar, lo \u00fanico que nos preocupa es la paridad de los n\u00fameros dibujados en las bolas, ya que la suma de dos pares cualesquiera siempre es par, la de dos impares siempre es par, y si sumamos una impar y una par siempre obtenemos par.<\/p>\n
De forma que \u00fanicamente nos ocuparemos de cu\u00e1ntas de las n bolas sean pares y cu\u00e1ntas impares.<\/p>\n
Por otra parte, que la suma sea par o sea impar es todo lo que puede pasar, es decir, no hay una tercera opci\u00f3n, por lo que est\u00e1 claro que p + q vale 1 y si son iguales, ambos valen \u00bd.<\/p>\n
Vamos a investigar lo que sucede para peque\u00f1os valores. Si \u00fanicamente hay dos bolas, el experimento tiene poco inter\u00e9s, ya que la suma siempre dar\u00e1 lo mismo, y o bien p o q ser\u00e1 1 y el otro 0, no podr\u00e1n ser iguales.<\/p>\n
Si hay tres, supongamos que hay dos de un tipo y una del otro (el otro caso es muy aburrido). La primera bola que observemos tiene \u2153 de probabilidad de ser de un cierto tipo y \u2154 del tipo contrario. Si estamos en el primer caso, con seguridad la segunda ser\u00e1 del tipo contrario, mientras que en el otro caso tenemos un 50% de probabilidad de ambos casos. Por lo tanto, la suma ser\u00e1 par con un 0% de probabilidad en el primer caso y con \u2153 en el segundo, es decir, ser\u00e1 par con p = \u2153. El valor de q lo obtenemos sumando \u2153 del primer caso con \u2153 del segundo, \u2154.
\n\"\"
\nUna vez entendido c\u00f3mo se ha hecho el c\u00e1lculo, aunque esta vez sea infructuoso, estamos en disposici\u00f3n de realizar el c\u00e1lculo te\u00f3rico. La decisi\u00f3n que habr\u00e1 que tomar es hacer depender todo de, por ejemplo, n y la cantidad de bolas pares, o bien de la cantidad de bolas pares y la cantidad de bolas impares. En una primera aproximaci\u00f3n lo hice de una forma y la expresi\u00f3n no me proporcion\u00f3 suficiente informaci\u00f3n. Volver a empezar con las otras variables hizo que me diera cuenta de la clave. Y ahora podr\u00eda razonarlo con las dos expresiones.<\/p>\n
Supongamos que llamamos a a la cantidad de bolas con un n\u00famero par y b a la cantidad de bolas con un n\u00famero impar. Evidentemente, n = a + b.<\/p>\n
La primera bola que observemos es par con una probabilidad de a\/(a + b). Suponiendo que \u00e9sto es as\u00ed, la probabilidad de que la segunda sea impar ser\u00e1 de b\/(a + b \u2013 1), ya que queda una bola menos entre las que escoger. Por lo tanto la probabilidad de que suceda esta situaci\u00f3n ser\u00e1 el producto ab\/((a + b)(a + b \u2013 1)).<\/p>\n
Puesto que la probabilidad de que la primera sea impar es b\/(a + b) y la de que, siendo as\u00ed, la segunda sea par es de a\/(a + b \u2013 1), la probabilidad de que suceda esta otra situaci\u00f3n ser\u00e1 id\u00e9ntica, ab\/((a + b)(a + b \u2013 1)).<\/p>\n
Como la probabilidad de que sea impar es la suma de estas dos \u00fanicas situaciones (ver \u00e1rbol de decisi\u00f3n), tendremos que q = 2ab\/((a + b)(a + b \u2013 1)).<\/p>\n
Para que p = q, hemos dicho que basta que q valga \u00bd, de forma que se debe dar 1\/2 = 2ab\/((a + b)(a + b \u2013 1)). Quitando denominadores nos queda que (a + b)(a + b \u2013 1) = 4ab.<\/p>\n
Ahora, desarrollando la expresi\u00f3n del par\u00e9ntesis, tenemos que a\u00b2 + 2ab + b\u00b2 \u2013 a \u2013 b = 4ab, e igualando a cero, tenemos que a\u00b2 \u2013 2ab + b\u00b2 \u2013 a \u2013 b = 0.<\/p>\n
Ahora viene la idea genial, ya que a y b debe ser entero, por lo que a\u00b2 \u2013 2ab + b\u00b2 = a + b, es decir, (a \u2013 b)\u00b2 = n.<\/p>\n
Y aqu\u00ed viene la interpretaci\u00f3n. Eso quiere decir que, si queremos que p y q sean iguales, n debe ser un cuadrado perfecto (evidentemente, mayor que uno, si queremos poder sacar dos bolas), y la diferencia entre bolas pares e impares debe ser su ra\u00edz. Supongamos que n = k\u00b2 , puesto que a + b = k\u00b2 y a – b = k, es sencillo ver que o bien a = (k\u00b2 + k)\/2, y b = (k\u00b2 \u2013 k)\/2, o bien a la inversa, ya que (b \u2013 a)\u00b2 = (a \u2013 b)\u00b2.<\/p>\n
Por ejemplo, podemos tomar 4 bolas, de forma que haya una impar y tres pares, o bien nueve bolas de forma que haya 6 impares y 3 pares, como en el dibujo. Podemos comprobar que la probabilidad de que la suma de dos tomados al azar sea par o impar es exactamente \u00bd.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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