{"id":486,"date":"2018-04-20T18:27:28","date_gmt":"2018-04-20T18:27:28","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=486"},"modified":"2018-04-20T18:27:41","modified_gmt":"2018-04-20T18:27:41","slug":"solucion-a-suma-de-cuadrados","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2018\/04\/20\/solucion-a-suma-de-cuadrados\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a suma de cuadrados"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 1 del viernes de la Fase Local de la Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola 2018\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Sean a y b dos n\u00fameros naturales mayores o iguales a 1, cuyo m\u00e1ximo com\u00fan divisor y m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo designamos por D y M, respectivamente.<\/p>\n<p>Demuestra que D\u00b2 + M\u00b2 \u2265 a\u00b2 + b\u00b2.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-483\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/04\/38.Sumadecuadrados.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/04\/38.Sumadecuadrados.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/04\/38.Sumadecuadrados-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p>Soluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nEra uno de los problemas m\u00e1s sencillos de la Fase Local, y dio muchos puntos a los participantes. Tambi\u00e9n nos han llegado varios mensajes de aficionados contando sus soluciones, que eran variaciones de este mismo argumento.<\/p>\n<p>Hay dos ideas que debemos emplear. Una reduce la desigualdad a una igualdad m\u00e1s sencilla, y la otra justifica esta desigualdad.<\/p>\n<p>La idea para empezar a razonar proviene de estudiar casos sencillos, de donde vemos que el factor D\u00b2 es com\u00fan a todos los sumandos de la desigualdad.<\/p>\n<p>En primer lugar, debemos tener en cuenta que el divisor com\u00fan es el mayor que divide tanto a a como a b, de forma que a = D\u00b7s y b = D\u00b7t, con s y t n\u00fameros primos entre s\u00ed y mayores o iguales que 1. Adem\u00e1s, D divide a M, al igual que s y t. De hecho, M = D\u00b7s\u00b7t, ya que ambos tienen que dividir a M, y debe ser el menor posible que lo haga. Est\u00e1 claro que debe tener esos factores, y si tuviese m\u00e1s, ser\u00eda mayor a\u00fan.<\/p>\n<p>Por lo tanto, la desigualdad que tenemos que probar queda como D\u00b2 + D\u00b2\u00b7s\u00b2\u00b7t\u00b2 \u2265 D\u00b2\u00b7s\u00b2 + D\u00b2\u00b7t\u00b2, que es equivalente a 1 + s\u00b2\u00b7t\u00b2 \u2265 s\u00b2 + t\u00b2, debido a que D es un n\u00famero positivo. Esta desigualdad es una m\u00e1s sencilla que es la que tenemos realmente que probar.<\/p>\n<p>En segundo lugar, podemos probar que es cierta esta desigualdad viendo que es equivalente, restando a ambos extremos, a  s\u00b2\u00b7t\u00b2 \u2013 s\u00b2 \u2265 t\u00b2 \u2013 1, y esta desigualdad es equivalente a  s\u00b2\u00b7(t\u00b2 \u2013 1) \u2265 t\u00b2 \u2013 1. Puesto que t es mayor que 1, el n\u00famero t\u00b2 \u2013 1 es positivo, por lo que esta desigualdad es (dividiendo a ambos extremos de la desigualdad) equivalente a s\u00b2 \u2265 1, cosa que sabemos que es cierta por la elecci\u00f3n de s.<\/p>\n<p>Por lo tanto, queda demostrado este resultado.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 1 del viernes de la Fase Local de la Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola 2018 Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Sean a y b dos n\u00fameros naturales mayores o iguales a 1, cuyo m\u00e1ximo com\u00fan divisor y m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo designamos por D y M, respectivamente. 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