{"id":502,"date":"2018-04-28T10:56:51","date_gmt":"2018-04-28T10:56:51","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=502"},"modified":"2018-04-28T10:56:51","modified_gmt":"2018-04-28T10:56:51","slug":"solucion-a-ecuacion-con-funciones","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2018\/04\/28\/solucion-a-ecuacion-con-funciones\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a ecuaci\u00f3n con funciones"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 3 de la Fase Local (viernes) de la Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola (2018)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Encuentra todas las funciones reales de variable real que cumplen, para cualquier par de valores x e y, la igualdad siguiente:<\/p>\n<p style=\"text-align: center\">f(x + f(x + y)) = f(2x) + y<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-494\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/04\/39.Ecuacionconfunciones.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/04\/39.Ecuacionconfunciones.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/04\/39.Ecuacionconfunciones-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nEste tipo de ecuaciones se suelen solucionar buscando propiedades particulares obtenidas para valores concretos de la propiedad general.<\/p>\n<p>Puesto que la ecuaci\u00f3n contiene varias sumas, lo primero que debemos estudiar es aquellos casos en los que uno de los sumandos da 0, ya que en ese caso la suma desaparece.<\/p>\n<p>As\u00ed, si x = 0 y y = 0, tenemos la igualdad f(0 + f(0)) = f(0), de donde f(f(0)) = f(0).<\/p>\n<p>Ahora, perseguimos saber m\u00e1s del valor f(0). Podemos jugar con valores que incluyan f(0) dentro de la funci\u00f3n. Una de los valores posibles es si x = 0 y y = f(0), entonces  f(0 + f(0 + f(0))) = f(0) + f(0) = 2f(0). Por tanto, f(f(f(0))) = 2f(0). Usando la igualdad anterior, tenemos que f(f(0)) = 2f(0), y por tanto f(0) = 2f(0), por lo que es necesario que f(0) = 0.<\/p>\n<p>Ahora que sabemos el valor de f(0), podemos deducir cosas m\u00e1s generales, si x = 0, tenemos que  f(0 + f(0 + y)) = f(0) + y, por lo que f(f(y)) = y para cualquier valor de y.<\/p>\n<p>Probando entonces qu\u00e9 pasa si y = 0, tenemos que f(x + f(x + 0)) = f(2x) + 0, por lo que f(x + f(x)) = f(2x). Claro, que si en esta igualdad, aplicamos f a ambos resultados, obtenemos que f(f(x + f(x))) = f(f(2x)), y seg\u00fan hemos visto, aplicar dos veces f es como no aplicarlo, as\u00ed que x + f(x) = 2x, de donde r\u00e1pidamente deducimos que f(x) = x, y esta igualdad sucede para cualquier x.<\/p>\n<p>Luego la \u00fanica funci\u00f3n que cumple esta condici\u00f3n es f (x) = x, ya que, en efecto, podemos comprobar que la cumple: f(x + f(x + y)) = f(x + x + y) = 2x + y = f(2x) + y.<\/p>\n<p>Una alternativa, propuesta por Javier Nistal, consiste en observar que, si x = 0, entonces f(f(y)) = f(0) + y. A partir de ah\u00ed, si tenemos que a y b son n\u00fameros diferentes, f(f(a)) \u2013 f(f(b)) = f(0) + a \u2013 (f(0) + b) = a \u2013 b, por lo que la funci\u00f3n es inyectiva (n\u00fameros diferentes deben dar resultados diferentes). Luego, como (suponiendo que y = 0) f(x + f(x)) = f(2x), tenemos que necesariamente x + f(x) = 2x, por lo que f(x) = x, y por tanto est\u00e1 claro que es la \u00fanica soluci\u00f3n. Evidentemente, necesitar\u00edamos comprobar tambi\u00e9n que esta funci\u00f3n cumple dicha condici\u00f3n, como hicimos con la otra soluci\u00f3n.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 3 de la Fase Local (viernes) de la Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola (2018) Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Encuentra todas las funciones reales de variable real que cumplen, para cualquier par de valores x e y, la igualdad siguiente: f(x + f(x + y)) = f(2x) + y Soluci\u00f3n:<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-502","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/502","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=502"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/502\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":503,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/502\/revisions\/503"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=502"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=502"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=502"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}