{"id":508,"date":"2018-05-05T08:00:35","date_gmt":"2018-05-05T08:00:35","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=508"},"modified":"2018-05-05T08:00:35","modified_gmt":"2018-05-05T08:00:35","slug":"solucion-a-triangulo-con-polinomios","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2018\/05\/05\/solucion-a-triangulo-con-polinomios\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a tri\u00e1ngulo con polinomios"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 4 de la Fase Local (viernes) de la Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola (2018)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Determina los n\u00fameros reales x &gt; 1 para los cuales existe un tri\u00e1ngulo cuyos lados tienen las longitudes siguientes:<\/p>\n<p>x\u2074 + x\u00b3 + 2x\u00b2 + x + 1<\/p>\n<p>2x\u00b3 + x\u00b2 + 2x + 1<\/p>\n<p>x\u2074 \u2013 1.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-medium wp-image-505\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/04\/40.Trianguloconpolinomios-300x155.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"155\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nPara que se pueda construir un tri\u00e1ngulo de ese tipo, se debe cumplir que los tres n\u00fameros sean positivos, y que el mayor de los tres sea menor que la suma de los otros dos. Si no queremos comparar las tres cantidades para ver cu\u00e1l de las tres es la mayor (porque adem\u00e1s, podr\u00eda variar con el valor de x), podemos tratar de ver que ninguna de las tres sea mayor que la suma de las otras dos.<\/p>\n<p>Puesto que x es mayor que 1, est\u00e1 claro que los dos primeros son positivos, ya que est\u00e1n compuesto de sumas de potencias de x. Y el tercero s\u00f3lo le quita 1 a una potencia de 1, con lo que tambi\u00e9n lo es. Por lo tanto esa caracter\u00edstica est\u00e1 verificada.<\/p>\n<p>Ahora, si queremos que a + b &gt; c, es equivalente a comprobar que a + b \u2013 c es mayor que cero.<\/p>\n<p>Si sumamos los dos primeros y restamos el tercero, tenemos el polinomio 3x\u00b3 + 3x\u00b2 + 3x + 3, que claramente es positivo para todos los valores de x positivos.<\/p>\n<p>Si sumamos el primero y el tercero, y restamos el segundo, tenemos el polinomio 2x\u2074 \u2013 x\u00b3 + x\u00b2 \u2013 x \u2013 1. Como tiene restas, deberemos ver qu\u00e9 ra\u00edces tiene para estudiar su signo mediante la factorizaci\u00f3n (convertirlo en un producto). Probando a dividirlo por x \u2013 1, da exacto, de forma que el polinomio se podr\u00eda poner como (x \u2013 1)\u00b7(2x\u00b3 + x\u00b2 + 2x + 1). Y est\u00e1 claro que ambos polinomios son positivos, el primero por ser la x mayor que 1 y el segundo por ser una suma de n\u00fameros positivos. Luego esa suma siempre es mayor que el otro lado.<\/p>\n<p>Por \u00faltimo, si sumamos el segundo y el tercero, y restamos el primero, tendremos el polinomio x\u00b3 \u2013 x\u00b2 + x \u2013 1, que de nuevo podemos factorizar dividiendo por x \u2013 1, obteniendo este polinomio como (x \u2013 1)\u00b7(x\u00b2 + 1), que por id\u00e9nticas razones es positivo.<\/p>\n<p>Como conclusi\u00f3n, podemos encontrar ese tri\u00e1ngulo para cualquier x mayor que 1.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 4 de la Fase Local (viernes) de la Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola (2018) Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Determina los n\u00fameros reales x &gt; 1 para los cuales existe un tri\u00e1ngulo cuyos lados tienen las longitudes siguientes: x\u2074 + x\u00b3 + 2x\u00b2 + x + 1 2x\u00b3 + x\u00b2 + 2x + [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-508","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/508","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=508"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/508\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":510,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/508\/revisions\/510"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=508"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=508"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=508"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}