{"id":518,"date":"2018-05-12T06:42:33","date_gmt":"2018-05-12T06:42:33","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=518"},"modified":"2018-05-12T06:44:18","modified_gmt":"2018-05-12T06:44:18","slug":"solucion-a-potencias-de-siete","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2018\/05\/12\/solucion-a-potencias-de-siete\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a potencias de siete"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 5 de la Fase Local (viernes) de la Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola (2018)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Sea n un n\u00famero natural. Probar que si la \u00faltima cifra de 7<sup>n<\/sup> es 3, la pen\u00faltima es 4.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/05\/41.Potenciasdesiete.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" class=\"aligncenter size-full wp-image-513\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/05\/41.Potenciasdesiete.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/05\/41.Potenciasdesiete-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<\/p>\n<p>De nuevo otro problema de n\u00fameros enteros con potencias de 7. La estructura de la soluci\u00f3n es muy conocida, se trata de encontrar un patr\u00f3n en las cifras y estudiar los casos que se presenten. Se puede trabajar por inducci\u00f3n o bien por restos (congruencias).<\/p>\n<p>La clave est\u00e1 en que 7\u2074 = 2401, que es de la forma 100k + 1. De esta forma, 7<sup>n + 4<\/sup> = 7<sup>n<\/sup>\u00b7(100k + 1) = 100k + 7<sup>n<\/sup>, por lo que 7<sup>n + 4<\/sup> tiene las mismas \u00faltimas dos cifras que 7<sup>n<\/sup>. Es f\u00e1cil razonarlo de muchas otras formas, incluso aritm\u00e9ticamente.<\/p>\n<p>Por ejemplo: est\u00e1 claro que los \u00faltimos dos d\u00edgitos de un producto s\u00f3lo dependen de los dos \u00faltimos d\u00edgitos de los factores, de forma que, puesto que 7\u00b77 = 49, 49\u00b77 = 343, que acaba en 43, y 43\u00b77 = 301, que acaba en 01, y 1\u00b77 = 7, vuelven a repetirse los dos \u00faltimos d\u00edgitos de las potencias de 7 cada 4 potencias, siendo sus terminaciones 07, 49, 43, y 01.<\/p>\n<p>Por lo tanto, las \u00fanicas posibles dos \u00faltimas cifras para las potencias de 7 son 01, 07, 49 y 43. Por lo tanto, la \u00fanica forma de que la \u00faltima cifra de 7<sup>n<\/sup> sea 3 es que n sea de la forma 4r + 3, es decir, que la pen\u00faltima cifra es evidente que ser\u00e1 4.<\/p>\n<p>El error m\u00e1s com\u00fan en este tipo de razonamientos es demostrar que los valores de la forma 4r + 3 acaban en 43 y tienen un 3 en la \u00faltima cifra y un 4 en la pen\u00faltima, pero no mencionar que los que no son de esa forma (los dem\u00e1s) no pueden tener el 3 como \u00faltima cifra (como es evidente, una vez descubierta la secuencia) y que, como se pide, acabar en 3 implica que la pen\u00faltima cifra es un 4.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 5 de la Fase Local (viernes) de la Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola (2018) Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Sea n un n\u00famero natural. Probar que si la \u00faltima cifra de 7n es 3, la pen\u00faltima es 4. Soluci\u00f3n: De nuevo otro problema de n\u00fameros enteros con potencias de 7. La estructura de [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-518","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/518","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=518"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/518\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":519,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/518\/revisions\/519"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=518"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=518"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=518"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}