{"id":525,"date":"2018-05-19T20:06:26","date_gmt":"2018-05-19T20:06:26","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=525"},"modified":"2018-09-20T21:18:11","modified_gmt":"2018-09-20T21:18:11","slug":"solucion-a-mediana-a-45-grados","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2018\/05\/19\/solucion-a-mediana-a-45-grados\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a mediana a 45 grados"},"content":{"rendered":"
Problema 6 de la Fase Local (viernes) de la Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola (2018)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Sea AD la mediana de un tri\u00e1ngulo ABC de forma que el \u00e1ngulo ADB es de 45\u00ba, y ACB es de 30\u00ba.<\/p>\n
Determinar el valor del \u00e1ngulo BAD.
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Soluci\u00f3n:<\/p>\n
Hay muchas aproximaciones diferentes a este problema.<\/p>\n
Una muy sencilla de entender es aquella en la que usamos propiedades de los \u00e1ngulos que nos presentan, es decir, que el \u00e1ngulo de 45 grados es la diagonal de un cuadrado, y el de 30 grados divide en dos un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero. A partir de ah\u00ed, construimos la figura que ilustra este problema y podemos razonar de varias formas.
\n\"\"<\/p>\n
Otra forma de razonar es usando ecuaciones de rectas y sus intersecciones. Para ello, necesitamos construir algunos \u00e1ngulos y recordar algunos elementos b\u00e1sicos. Suele ser mi aproximaci\u00f3n favorita, usando geometr\u00eda anal\u00edtica.<\/p>\n
Supongamos que la recta que contiene a C, D y B es y = 0, el eje horizontal. Y que la unidad es la mitad de la distancia de C a D, que es a misma que de D a B, por ser D el punto medio de C a B. El punto C podemos ubicarlo en el lugar de coordenadas (0, 0), D es (2, 0) y B es (4, 0). El vector director de la recta AC forma un \u00e1ngulo con la horizontal de 30\u00ba, es decir, puede ser (ra\u00edz(3), 1), por lo que la ecuaci\u00f3n de la recta que contiene a C y a A ser\u00eda x \u2013 ra\u00edz(3)y = 0. El vector director de la recta AD podr\u00eda ser el (1, 1), y, puesto que contiene el punto (2, 0), ser\u00eda x \u2013 y = 2. La intersecci\u00f3n de ambas rectas ser\u00eda el punto A, que coincide con (ra\u00edz(3) + 3, ra\u00edz(3) + 1).<\/p>\n
Ahora, si hayamos el producto escalar entre AB (1 \u2013 ra\u00edz(3) , \u2013 1 \u2013 ra\u00edz(3)) y AD (\u2013 1 \u2013 ra\u00edz(3) , \u2013 1 \u2013 ra\u00edz(3)), tendremos 6 + 2\u00b7ra\u00edz(3), mientras que el m\u00f3dulo de AB ser\u00eda ra\u00edz(8) y el m\u00f3dulo de AD ser\u00eda ra\u00edz(8 + 4\u00b7ra\u00edz(3)). El resultado de dividir esas expresiones no parece f\u00e1cil de obtener (recuerda que el coseno del \u00e1ngulo entre dos vectores es el producto escalar dividido entre el producto de los m\u00f3dulos), pero, si elevamos la fracci\u00f3n al cuadrado, obtenemos exactamente 3\/4, luego el coseno del \u00e1ngulo (que es el resultado de dividir el producto por el producto de los m\u00f3dulos), ser\u00eda ra\u00edz(3)\/2, de forma que se trata del \u00e1ngulo de 30\u00ba.<\/p>\n
Una tercera forma es dividir el tri\u00e1ngulo inicial en cuatro tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos y razonar usando trigonometr\u00eda b\u00e1sica, aunque necesitaremos alguna f\u00f3rmula para construir razones poco frecuentes.<\/p>\n
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Ahora, si suponemos que los segmentos CD y DB miden ambos 2\u00b7ra\u00edz(3) (para evitar fracciones en los c\u00e1lculos), tenemos que ED mide ra\u00edz(3), DF mide ra\u00edz(6), igual que BF.<\/p>\n
Entonces, el \u00e1ngulo EDF es de 75\u00ba = 30\u00ba + 45\u00ba, y aplicamos para sus razones trigonom\u00e9tricas (necesitamos el coseno) la f\u00f3rmula de la suma de \u00e1ngulos, de manera que cos(75\u00ba) = cos(30\u00ba)\u00b7cos(45\u00ba) \u2013 sen(30\u00ba)\u00b7sen(45\u00ba) = (ra\u00edz(6) \u2013 ra\u00edz(2))\/4.<\/p>\n
Operando en el tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo AED, resulta que DA = ED\/cos(75\u00ba) = 4\u00b7ra\u00edz(3)\/(ra\u00edz(6) \u2013 ra\u00edz(2)) = 4\u00b7ra\u00edz(3)\u00b7(ra\u00edz(6) + ra\u00edz(2))\/(6 \u2013 2) = 3\u00b7ra\u00edz(2) + ra\u00edz(6).<\/p>\n
Una vez aqu\u00ed, como DA \u2013 DF = FA resulta que FA = 3\u00b7ra\u00edz(2). Como tenemos que BF med\u00eda ra\u00edz(6), la tangente del \u00e1ngulo FAB, que es el que buscamos, es ra\u00edz(6)\/(3\u00b7ra\u00edz(2)) = ra\u00edz(3)\/3 = 1\/ra\u00edz(3), que corresponde al \u00e1ngulo de 30\u00ba.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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