{"id":534,"date":"2018-05-26T11:00:22","date_gmt":"2018-05-26T11:00:22","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=534"},"modified":"2018-05-26T11:00:22","modified_gmt":"2018-05-26T11:00:22","slug":"solucion-a-de-esfera-a-cubo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2018\/05\/26\/solucion-a-de-esfera-a-cubo\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a de esfera a cubo"},"content":{"rendered":"
Problema 4 de la Fase Local (s\u00e1bado) de la Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola (2018)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Probar que:<\/p>\n
1) La suma de la distancias desde un punto de la superficie de la esfera inscrita en un cubo en el espacio tridimensional real a todas las caras del mismo no depende del punto elegido.<\/p>\n
2) Misma cuesti\u00f3n anterior para la suma de los cuadrados de las distancias.<\/p>\n
3) Misma cuesti\u00f3n que las anteriores para la suma de los cubos de las distancias.
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:<\/p>\n
Mi forma favorita de abordar este tipo de problemas, salvo que tenga muy clara su visualizaci\u00f3n, es usar vectores.<\/p>\n
Puesto que la escala es indiferente, voy a tomar un cubo y una esfera que resulte c\u00f3modo de tratar. Dicho de otra manera, elegir\u00e9 la escala y la ubicaci\u00f3n del origen de coordenadas de una manera c\u00f3moda. El origen estar\u00e1 en el centro del cubo, y los ejes paralelos a las diferentes aristas del cubo.<\/p>\n
La esfera estar\u00e1 centrada en el (0, 0, 0) y su radio ser\u00e1 1. As\u00ed, cualquier punto de su superficie tendr\u00e1 una distancia de 1 al centro, es decir, si x, y y z son sus coordenadas, tendremos que x\u00b2 + y\u00b2 + z\u00b2 = 1.<\/p>\n
El cubo lo situaremos de forma que los puntos de sus caras ser\u00e1n paralelos a los planos principales del espacio, es decir, que todos los puntos de una cara (llam\u00e9mosla A) tendr\u00e1n, por ejemplo, la coordenada x = 1, mientras que la coordenada y y la coordenada z tendr\u00e1n un valor entre \u20131 y 1 en ambos casos. La cara opuesta (B) tendr\u00e1 la coordenada x = \u20131, y de nuevo las otras dos un valor entre \u20131 y 1. Las otras cuatro caras se caracterizar\u00e1n de la misma forma, pero la coordenada que permanecer\u00e1 constante en dos casos ser\u00e1 y (C la positiva y D la negativa), y en otros dos z (E la positiva y F la negativa). Este cubo tiene lado 2, y est\u00e1 claro que la esfera est\u00e1 inscrita, pues es tangente a cada una de las seis caras exactamente en el centro.<\/p>\n
Un punto cualquier de la esfera ser\u00e1 (x, y, z) con la condici\u00f3n  x\u00b2 + y\u00b2 + z\u00b2 = 1, como ya hemos dicho.<\/p>\n
La distancia del punto a la cara A ser\u00e1 1 \u2013 x, porque el punto m\u00e1s pr\u00f3ximo de la cara a \u00e9ste tiene 1 de coordenada x, mientras que la y y la z son iguales a las del punto, evidentemente. La diferencia entre ambos puntos s\u00f3lo tiene componente x, y este valor es positivo.<\/p>\n
Por la misma raz\u00f3n (punto m\u00e1s pr\u00f3ximo), la distancia a B ser\u00e1 x + 1, la de C, 1 \u2013 y, la de D y + 1, la de E 1 \u2013 z y la de F z + 1.<\/p>\n
El apartado (a) consiste en sumar esas seis distancias, as\u00ed que 1 \u2013 x + x + 1 + 1 \u2013 y + y + 1 + 1 \u2013 z + z + 1 = 6, es decir que claramente es una constante.<\/p>\n
El apartado (b) requiere probar que  (1 \u2013 x)\u00b2 + (x + 1)\u00b2 + (1 \u2013 y)\u00b2 + (y + 1)\u00b2 + (1 \u2013 z)\u00b2 + (z + 1)\u00b2 = 1 \u2013 2x + x\u00b2 + 1 + 2x + x\u00b2 + 1 \u2013 2y + y\u00b2 + 1 + 2y + y\u00b2 + 1 \u2013 2z + z\u00b2 + 1 + 2z + z\u00b2 = 6 + 2(x\u00b2 + y\u00b2 + z\u00b2) = 6 + 2 = 8. Es sencillo ver que las partes lineales se contrarrestan y la suma de las partes cuadr\u00e1ticas son constantes por estar sobre una esfera.<\/p>\n
El apartado (c) es algo m\u00e1s pesado, ya que necesita que sepamos desarrollar (1 + h)\u00b3 para cualquier valor positivo o negativo de h. Este desarrollo se puede hacer multiplicando polinomios, o bien con lo que estudiamos en bachillerato de las potencias de los binomios, y se obtiene 1 + 3h + 3h\u00b2 + h\u00b3, donde los t\u00e9rminos que pueden tener signos positivos o negativos son exclusivamente el segundo y el cuarto (aquellos en los que la potencia de h es impar).<\/p>\n
De esta forma,  (1 \u2013 x)\u00b3 + (x + 1)\u00b3 + (1 \u2013 y)\u00b3 + (y + 1)\u00b3 + (1 \u2013 z)\u00b3 + (z + 1)\u00b3 = 6 + 3x \u2013 3x + 3y \u2013 3y + 3z \u2013 3z + 6x\u00b2 + 6y\u00b2 + 6z\u00b2 + x\u00b3 \u2013 x\u00b3 + y\u00b3 \u2013 y\u00b3 + z\u00b3 \u2013 z\u00b3 = 6 + 6(x\u00b2 + y\u00b2 + z\u00b2) = 6 + 6 =12.<\/p>\n
Es muy probable que las sumas de potencias cuartas ya no salga constante, ya que no tenemos la garant\u00eda de que la suma de las cuartas potencias de las tres variables sea constante. De hecho, si tomamos un par de puntos, como por ejemplo (1\/3, 2\/3, 2\/3) y (1, 0, 0), que cumplen claramente la condici\u00f3n que se pide, podemos comprobar que (1 \u2013 x)\u2074 + (x + 1)\u2074 + (1 \u2013 y)\u2074 + (y + 1)\u2074 + (1 \u2013 z)\u2074 + (z + 1)\u2074 da, en el primer caso, 508\/27, algo menos de 19, mientras que en el segundo da 20. Est\u00e1 claro que esa suma de potencias no ser\u00e1 constante, por tanto.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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