{"id":545,"date":"2018-06-02T16:00:25","date_gmt":"2018-06-02T16:00:25","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=545"},"modified":"2018-06-02T16:00:25","modified_gmt":"2018-06-02T16:00:25","slug":"solucion-a-divisibilidad","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2018\/06\/02\/solucion-a-divisibilidad\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a divisibilidad"},"content":{"rendered":"
Problema 5 de la Fase Local (s\u00e1bado) de la Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola (2018)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Sean a, b y c n\u00fameros naturales primos, distintos dos a dos.<\/p>\n
Demuestra que el n\u00famero (ab)c – 1<\/sup> + (bc)a – 1<\/sup> + (ac)b – 1<\/sup> \u2013 1 es un m\u00faltiplo del producto abc.
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\nSoluci\u00f3n:
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Las \u00fanicas pruebas con las que podemos trabajar son n\u00fameros relativamente grandes, y aparentemente no dan pistas para abordar el problema. La m\u00e1s baja es la que corresponde a los n\u00fameros primos 2, 3 y 5, y el n\u00famero que resulta es de cuatro cifras.<\/p>\n
Una cosa que es f\u00e1cil de deducir es que debemos trabajar la divisibilidad de cada uno de los primos por separado. Puesto que son primos diferentes, si el n\u00famero que estudiamos es divisible por los tres, tambi\u00e9n lo ser\u00e1 por su producto.<\/p>\n
Supongamos que queremos estudiar la divisibilidad de la expresi\u00f3n (ab)c-1<\/sup> + (bc)a-1<\/sup> + (ac)b-1<\/sup> \u2013 1 entre el primo a, ya que dada la simetr\u00eda de la expresi\u00f3n ser\u00e1 igual de sencillo (o de complicado) comprobar la divisibilidad entre cualquier otro de los dos primos.<\/p>\n
En esa suma de cuatro t\u00e9rminos, tanto (ab)c-1<\/sup> como (ac)b-1<\/sup> son claramente m\u00faltiplos de a, ya que las potencias son de exponente mayor o igual que 1, pero est\u00e1 claro que (bc)a-1<\/sup> no lo es. Debemos ver que (bc)a-1<\/sup> \u2013 1 es m\u00faltiplo de a, y entonces estar\u00e1 completa la demostraci\u00f3n.<\/p>\n
Salvo que hayamos estudiado congruencias, este resultado me parece muy dif\u00edcil para estudiantes de secundaria, ya que se trata de un caso particular del llamado Peque\u00f1o Teorema de Fermat.<\/p>\n
En realidad, cualquier n\u00famero n que no sea m\u00faltiplo de a cumple que na-1<\/sup> \u2013 1 es divisible por a. Voy a trabajar una demostraci\u00f3n indirecta para explicarlo, pero insisto que si no se ha visto con anterioridad me parecer\u00eda muy dif\u00edcil que un estudiante lo dedujese sobre la marcha.<\/p>\n
Vamos a trabajar con la expresi\u00f3n na<\/sup> \u2013 n y comprobar que es divisible por a para cualquier valor de n. Puede parecer que no tiene nada que ver, pero hay que tener un poco de paciencia.<\/p>\n
Est\u00e1 claro que es cierto si n = 1, ya que en ese caso vale 0. Ahora bien, si pensamos que ese resultado es cierto para la cadena de n\u00fameros 1, 2, \u2026 , n \u00bfpodr\u00edamos verificarlo para el siguiente, n + 1?<\/p>\n
Veamos, (n + 1)a<\/sup> \u2013 (n + 1) = na<\/sup> + a\u00b7na-1<\/sup> + (a\u00b7(a \u2013 1))\/2)\u00b7na-2<\/sup> + \u2026 + a\u00b7n + 1 \u2013 (n + 1). El desarrollo de esta potencia se trabaja en primero de bachillerato, y todos sus sumandos, excepto el primero y el \u00faltimo, tienen un coeficiente que se obtiene multiplicando secuencias de n\u00fameros consecutivos (que empiezan por a) y dividiendo entre otra secuencia de la misma cantidad de n\u00fameros consecutivos (que acaban en 1). Est\u00e1 claro que el factor a nunca se simplificar\u00e1, ya que es primo (no se puede dividir por ning\u00fan n\u00famero menor), y puesto que el resultado es un n\u00famero entero, va a tratarse de un m\u00faltiplo de a (excepto en el caso del primer y el \u00faltimo t\u00e9rminos, que llevan el coeficiente 1).<\/p>\n
Por lo tanto, (n + 1)a<\/sup> \u2013 (n + 1) = na<\/sup> + (m\u00faltiplo de a) + 1 \u2013 (n + 1) = na<\/sup> \u2013 n + m\u00faltiplo de a.<\/p>\n
Pero este valor,  na<\/sup> \u2013 n, hemos supuesto que es m\u00faltiplo de a, por lo que tambi\u00e9n lo es (n + 1)a<\/sup> \u2013 (n + 1).<\/p>\n
Por lo tanto, na<\/sup> \u2013 n = n(na-1<\/sup> \u2013 1) siempre es m\u00faltiplo de a, y, claro, cuando n no es m\u00faltiplo de a, debe ser que na-1<\/sup> \u2013 1 s\u00ed es m\u00faltiplo de a, porque al multiplicarlo por n obtenemos un m\u00faltiplo de a.<\/p>\n
Se trata de una demostraci\u00f3n muy curiosa, pero que nos da muchas pistas para tratar con potencias de n\u00fameros en t\u00e9rminos de divisibilidad. Espero que al menos este problema haya servido para esto.<\/p>\n
El caso es que, en nuestro problema, es evidente que bc no es m\u00faltiplo de a, de forma que (bc)a-1<\/sup> \u2013 1 s\u00ed que es m\u00faltiplo de a, y por tanto la expresi\u00f3n inicial debe, en cualquier caso, ser m\u00faltiplo de a. De la misma forma, es m\u00faltiplo de b y de c, logrando que sea m\u00faltiplo de abc.<\/p>\n
Observamos que para n\u00fameros compuestos no vale casi nada de lo expuesto, ya que el resultado de Fermat usa el hecho de que sea primo, y el razonamiento por factores tambi\u00e9n.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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