{"id":554,"date":"2018-06-09T06:47:17","date_gmt":"2018-06-09T06:47:17","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=554"},"modified":"2018-06-09T06:47:17","modified_gmt":"2018-06-09T06:47:17","slug":"solucion-a-un-cuadrado-casi-magico","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2018\/06\/09\/solucion-a-un-cuadrado-casi-magico\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a un cuadrado casi m\u00e1gico"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 4 del Nivel 1 de la Olimpiada de Mayo de 2016\r\nSe dirige a una edad de: 12 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Dado un tablero de 3 x 3, se quiere escribir en sus casillas los n\u00fameros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y un n\u00famero entero positivo M, no necesariamente distinto de los anteriores. El objetivo es que la suma de los tres n\u00fameros de cada fila sea la misma.<\/p>\n<p>a) Hallar todos los valores de M para los que esto es posible.<\/p>\n<p>b) \u00bfPara cu\u00e1les de los valores de M hallados en (a) es posible acomodar los n\u00fameros de modo que no solo las tres filas sumen lo mismo sino que tambi\u00e9n las tres columnas sumen lo mismo?<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-551\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/06\/45.uncuadradocasimagico.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/06\/45.uncuadradocasimagico.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/06\/45.uncuadradocasimagico-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nEs conveniente jugar un poco con la tarea, dejando vac\u00edo el hueco para el n\u00famero M, hasta que tengamos una hip\u00f3tesis.<\/p>\n<p>Unas ideas deber\u00edan dar ciertas pistas. La suma de los ocho n\u00fameros m\u00e1s M debe ser m\u00faltiplo de 3, porque en caso contrario no es posible que las tres filas, que est\u00e1n separadas, sumen lo mismo.<\/p>\n<p>Adem\u00e1s, si quitamos la fila donde est\u00e1 la M, las otras dos deben sumar par, por el mismo motivo.<\/p>\n<p>Una vez que tenemos claro estos argumentos, los valores m\u00e1s peque\u00f1os para la M incluyen los n\u00fameros de mayor suma posible en la misma fila, mientras que los valores mayores incluyen la suma m\u00e1s peque\u00f1a. Hay que tener en cuenta que M debe ser positivo, por lo que la suma de sus vecinos debe ser menor que la mitad de los otros de las otras filas.<\/p>\n<p>As\u00ed, sumando los 8 n\u00fameros obtenemos 36, por lo que M deber\u00e1 ser m\u00faltiplo de 3.<\/p>\n<p>Es sencillo encontrar una configuraci\u00f3n para el valor de M 3, en la que cada fila sume 13 (1 \u2013 4 \u2013 8, 2 \u2013 5 \u2013 6, 3 \u2013 7 \u2013 3). De la misma forma, lo podemos lograr para 6 y 9, pero el mayor es 12, ya que no podemos llegar a sumar m\u00e1s de 17 con tres n\u00fameros en dos filas, y que sobren dos n\u00fameros. Para 12, tenemos 2 \u2013 6 \u2013 8, 4 \u2013 5 \u2013 7, 1 \u2013 3 \u2013 12.<\/p>\n<p>Los posibles valores ser\u00e1n por tanto 3 \u2013 6 \u2013 9 y 12, que es la respuesta al apartado (a).<\/p>\n<p>Para el apartado (b) debemos encontrar al menos otra suma para cada uno de los valores que tenemos, lo que ser\u00e1 posible en el caso de 3 (1 \u2013 4 \u2013 8, 5 \u2013 6 \u2013 2, 7 \u2013 3 \u2013 3), 6 (8 \u2013 1 \u2013 5, 4 \u2013 7 \u2013 3, 2 \u2013 6 \u2013 6) y 9 (5 \u2013 1 \u2013 9, 7 \u2013 6 \u2013 2, 3 \u2013 8 \u2013 4). Sin embargo, para el valor 12 no encontramos m\u00e1s que una forma de sumar 16 usando 12, 1 \u2013 3 \u2013 12, por lo que ser\u00e1 imposible lograr una columna que sume tambi\u00e9n 16 y contenga este n\u00famero.<\/p>\n<p>Por lo tanto, la respuesta a (b) ser\u00e1 3, 6 y 9.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 4 del Nivel 1 de la Olimpiada de Mayo de 2016 Se dirige a una edad de: 12 a\u00f1os Dado un tablero de 3 x 3, se quiere escribir en sus casillas los n\u00fameros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y un n\u00famero entero positivo M, no necesariamente distinto de los anteriores. 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