{"id":562,"date":"2018-06-16T16:12:01","date_gmt":"2018-06-16T16:12:01","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=562"},"modified":"2018-06-16T16:12:01","modified_gmt":"2018-06-16T16:12:01","slug":"solucion-a-encontrando-una-esquina","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2018\/06\/16\/solucion-a-encontrando-una-esquina\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a encontrando una esquina"},"content":{"rendered":"
Problema 6 de la Fase Local (s\u00e1bado) de la Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola (2018)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Se han coloreado 46 cuadrados unitarios de una cuadr\u00edcula 9×9.<\/p>\n
\u00bfHay, en la cuadr\u00edcula alguna figura compuesta de tres cuadrados formando esquina en cualquier orientaci\u00f3n, como en el dibujo que acompa\u00f1a estas l\u00edneas, con las tres casillas coloreadas?
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nObserva que si pidiesen algo parecido con 45, ser\u00eda f\u00e1cil encontrar una coloraci\u00f3n en la que no se diese tal situaci\u00f3n, pintando cinco de las nueve l\u00edneas y dejando cuatro intercaladas sin colorear.<\/p>\n
En el fondo, nos est\u00e1n pidiendo que coloreemos un cuadrado m\u00e1s de lo que son m\u00e1s de la mitad de l\u00edneas, y que comprobemos que siempre hay un dibujo del tipo que nos piden.<\/p>\n
El equivalente en un cuadrado 3×3 ser\u00eda pintar 7 cuadrados, y en un 5×5, pintar 16. despu\u00e9s de ensayar en tableros peque\u00f1os, podemos llegar a conclusiones interesantes.<\/p>\n
Por ejemplo, en un cuadrado 2×2, pintar dos es posible sin que aparezca esta figura, pero pintar m\u00e1s de 2 no.<\/p>\n
Si tratamos de hacer algo similar en uno 3×3, aparece una figura como la siguiente, en la que hay dos zonas, una verde y una azul. Si pintamos dos de la zona verde no aparece ning\u00fan dibujo del tipo que nos piden, y podemos pintar cuatro de la zona azul sin que tampoco aparezcan (tres en l\u00ednea y uno separado de esa l\u00ednea). En total, hay un m\u00e1ximo de 6 cuadrados que podemos pintar sin que aparezca el cuadrado. Tratar de colorear siete conlleva, por tanto, que o bien pintamos tres de la zona verde, o los cinco de la zona azul, por lo que aparece seguro una figura en el tablero de la forma que buscamos. La \u00fanica forma de pintar 6 es mediante el dibujo de dos franjas de 3 separadas por una franja de 3 sin pintar.\"\"<\/p>\n
El razonamiento en el tablero grande, puede ser delimitar zonas en la cuadr\u00edcula 9×9 que nos permita poner un tope de cuadrados por zona para pintar. Es evidente que 16 de esas zonas podr\u00edan ser cuadrados 2×2, pero el resto deben tener otra forma.<\/p>\n
He probado a hacerlas rectas, o mediante cuadrados 3×3, pero el razonamiento se complica mucho. De esta forma, al rellenar cuadrados de una l\u00ednea, si son cuadrados consecutivos, pueden obligar a las zonas 2×2 a seguir un determinado patr\u00f3n, pero no es f\u00e1cil seguir el razonamiento y no me ha resultado c\u00f3modo escribirlo hasta el final. Sospecho que se podr\u00eda concluir.<\/p>\n
La otra forma, que es la que propone la soluci\u00f3n oficial, es encajar los 16 cuadrados 2×2 dejando lo m\u00e1s parecido a una diagonal, y dividir la diagonal de otra forma.<\/p>\n
As\u00ed, encontramos una disposici\u00f3n en forma de 16 cuadrados, tres figuras de cuatro cuadrados en forma de letra l, y una figura de cinco cuadrados similar a la zona azul de la cuadr\u00edcula 3×3, como una letra l may\u00fascula.\"\"<\/p>\n
El m\u00e1ximo de cuadrados que podemos pintar de esas zonas (sin que aparezca la figura que hemos descrito al principio del problema) ser\u00eda, por tanto, 2 por cada una de los cuadrados 2×2, con un total de 16\u00b72 = 32, tres de las zonas en forma de letra l de cuatro cuadrados (un m\u00e1ximo de 3\u00b73 = 9), y hasta cuatro de la zona de cinco cuadrados con forma de letra l may\u00fascula. Eso har\u00eda que el m\u00e1ximo de cuadrados que podemos colorear sin que aparezca una figura del tipo que se nos pide es de 32 + 9 + 4 = 45.<\/p>\n
Por lo tanto, pintar 46 implica rellenar totalmente una de las cinco zonas de la diagonal (con lo que aparece una figura de las pedidas), o bien pintar tres de los cuatro cuadrados de una de las zonas 2×2, con lo que seguro que podr\u00edamos encontrar una figura del tipo que nos piden.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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