{"id":599,"date":"2018-06-28T14:14:05","date_gmt":"2018-06-28T14:14:05","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=599"},"modified":"2018-07-18T08:16:28","modified_gmt":"2018-07-18T08:16:28","slug":"sobre-el-proceso-de-induccion-la-maldicion-del-campeon-o-el-peligro-de-sacar-conclusiones-rapidamente","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2018\/06\/28\/sobre-el-proceso-de-induccion-la-maldicion-del-campeon-o-el-peligro-de-sacar-conclusiones-rapidamente\/","title":{"rendered":"Sobre el proceso de inducci\u00f3n: la maldici\u00f3n del campe\u00f3n o el peligro de sacar conclusiones r\u00e1pidamente"},"content":{"rendered":"<p>Los partidos de la vig\u00e9simo primera edici\u00f3n del <strong>mundial<\/strong> de f\u00fatbol masculino de Rusia siguen registrando audiencias espectaculares. Como en ediciones anteriores, y en este caso hasta el 15 de julio que se celebrar\u00e1 la gran final, el Mundial suscita, entre otros aspectos, un sinf\u00edn de apuestas estramb\u00f3ticas, pol\u00e9micas arbitrales, pasiones nacionales, el show de Maradona, cr\u00edticas a jugadores, entrenadores y presidentes de federaciones, divertidos memes y titulares llamativos como el de \u201c<strong>Alemania no supera la maldici\u00f3n del campe\u00f3n en la fase de grupos<\/strong>\u201d, refiri\u00e9ndose a la eliminaci\u00f3n de ayer de Alemania en la primera fase del torneo.<\/p>\n<p>Ciertamente, bajo el formato actual, Francia, Italia y Espa\u00f1a tambi\u00e9n cayeron en la primera ronda (en 2002, 2010 y 2014, respectivamente) cuando afrontaron un nuevo mundial para defender su corona, pero tambi\u00e9n es cierto que Brasil s\u00ed que super\u00f3 la primera fase en 2006 habiendo ganado la edici\u00f3n previa. Encontrarnos esta excepci\u00f3n de Brasil en los \u00faltimos cinco mundiales (\u00fanicamente son los \u00faltimos cinco mundiales en los que se ha utilizado el formato actual) podr\u00eda llevar a cuestionarnos el uso de la palabra maldici\u00f3n, que en cualquier caso queda muy llamativo en un titular de prensa.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-622\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/06\/cuatro.jpg\" alt=\"\" width=\"1219\" height=\"560\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/06\/cuatro.jpg 1219w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/06\/cuatro-300x138.jpg 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/06\/cuatro-768x353.jpg 768w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/06\/cuatro-1024x470.jpg 1024w\" sizes=\"auto, (max-width: 1219px) 100vw, 1219px\" \/><\/p>\n<p>El caso es que el hecho de que el campe\u00f3n de la edici\u00f3n anterior tenga tantas dificultades para superar la primera fase (cuando <em>a priori<\/em> es uno de los grandes candidatos a superarla sin grandes dificultades), unido a que tengamos una <em>excepci\u00f3n<\/em> en la supuesta <em>maldici\u00f3n<\/em> del campe\u00f3n, me ha llevado a pensar en el <strong>peligro de sacar conclusiones r\u00e1pidamente<\/strong> y, en particular, dada mi profesi\u00f3n, a recordar algunos casos especialmente significativos que llevaron a no poder generalizar alguna propiedad matem\u00e1tica que \u201cparec\u00eda\u201d funcionar indefinidamente (esto es, para una cantidad infinita de valores enteros)\u2026 y es que la <strong>inducci\u00f3n<\/strong> se utiliza muy a menudo en matem\u00e1ticas, pero se hace necesario emplearla correctamente. Veamos algunos ejemplos de ello.<\/p>\n<ul>\n<li>El gran matem\u00e1tico <strong>G. W. Leibniz<\/strong> prob\u00f3 en el siglo XVII que:<\/li>\n<\/ul>\n<p>&gt; <em>n^3-n<\/em> es divisible por <em>3<\/em> para todo <em>n<\/em> natural;<br \/>\n&gt; <em>n^5-n<\/em> es divisible por <em>5<\/em> para todo <em>n<\/em> natural<br \/>\n&gt; <em>n^7-n<\/em> es divisible por <em>7<\/em> para todo <em>n<\/em> natural<\/p>\n<p>Como en el caso de la \u201cmaldici\u00f3n\u201d del campe\u00f3n en la fase de grupos (recordemos, Francia, Italia y Espa\u00f1a), disponemos aqu\u00ed tambi\u00e9n de tres casos que podr\u00edan llevarnos a pensar en la aparente propiedad:<\/p>\n<p style=\"text-align: center\">&#8220;Si <em>k<\/em> es impar, <em>n^k-n<\/em> es divisible por <em>k<\/em> para todo <em>n<\/em> natural.\u201d<\/p>\n<p>Sin embargo, Leibniz prob\u00f3 posteriormente que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center\"><em>2^9-2=510<\/em>\u00a0no es divisible por <em>9<\/em>,<\/p>\n<p>lo que desmonta la afirmaci\u00f3n gen\u00e9rica.<\/p>\n<ul>\n<li>Un ejemplo, m\u00e1s conocido que el anterior, hace referencia a los n\u00fameros de la forma <em>2^{2^n}+1<\/em>, llamados <strong>n\u00fameros de Fermat<\/strong>, que sabemos que son n\u00fameros primos para los primeros cinco casos <em>n=0,1,2,3,4<\/em> (por tanto, m\u00e1s casos que los que proporcionan la \u201cmaldici\u00f3n\u201d del campe\u00f3n en la fase de grupos). En efecto:<\/li>\n<\/ul>\n<p>&gt; Si <em>n=0<\/em>, obtenemos\u00a0<em>2^{2^0}+1=3<\/em> que es primo;<br \/>\n&gt; Si <em>n=1<\/em>, obtenemos\u00a0<em>2^{2^1}+1=5<\/em> que es primo;<br \/>\n&gt; Si <em>n=2<\/em>, obtenemos\u00a0<em>2^{2^2}+1=17<\/em> que es primo;<br \/>\n&gt; Si <em>n=3<\/em>, obtenemos\u00a0<em>2^{2^3}+1=257<\/em> que es primo;<br \/>\n&gt; Si <em>n=4<\/em>, obtenemos\u00a0<em>2^{2^4}+1=65537<\/em> que es primo;<\/p>\n<p>Sin embargo, <strong>L. Euler<\/strong> demostr\u00f3 en el siglo XVIII que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center\"><em>2^{2^5}+1 = 4294967297 = 641 \u00b7 6700417<\/em> no es primo.<\/p>\n<p>Por cierto, si no os gusta el f\u00fatbol y est\u00e1is estos d\u00edas ociosos, pod\u00e9is probar a responder de forma justificada a las siguientes preguntas en relaci\u00f3n a este ejemplo:\u00a0\u00bfHay infinitos n\u00fameros de Fermat que sean primos? \u00bfS\u00f3lo hay cinco n\u00fameros primos de Fermat (<em>3<\/em>, <em>5<\/em>, <em>17<\/em>, <em>257<\/em> y <em>65537<\/em>)? En este caso no os puedo proporcionar la respuesta ya que se trata de dos conocidos problemas a\u00fan sin resolver \ud83d\ude42<\/p>\n<ul>\n<li>La propiedad que os muestro en la imagen siguiente (cierta para <em>n&lt;105<\/em> pero que falla en el caso <em>n=105<\/em>) se termin\u00f3 de clarificar cuando en 1941 se public\u00f3 la soluci\u00f3n proporcionada por <strong>V. K. Ivanov<\/strong>.<\/li>\n<\/ul>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-602 size-full\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/06\/Inducci\u00f3n-1.jpg\" alt=\"\" width=\"941\" height=\"482\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/06\/Inducci\u00f3n-1.jpg 941w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/06\/Inducci\u00f3n-1-300x154.jpg 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/06\/Inducci\u00f3n-1-768x393.jpg 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 941px) 100vw, 941px\" \/><\/p>\n<ul>\n<li>Otro ejemplo en el que <strong>el patr\u00f3n se rompe<\/strong> es el que os muestro en la siguiente figura. En concreto, la pauta se rompe en la octava integral impropia cuyo resultado es un valor cercano a <em>\u03c0\/2<\/em>, pero no es <em>\u03c0\/2<\/em>. Esto muestra la necesidad de <em>ser prudentes<\/em> con nuestras afirmaciones:<\/li>\n<\/ul>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-604\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/06\/Inducci\u00f3n-2.jpg\" alt=\"\" width=\"1040\" height=\"634\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/06\/Inducci\u00f3n-2.jpg 1040w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/06\/Inducci\u00f3n-2-300x183.jpg 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/06\/Inducci\u00f3n-2-768x468.jpg 768w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/06\/Inducci\u00f3n-2-1024x624.jpg 1024w\" sizes=\"auto, (max-width: 1040px) 100vw, 1040px\" \/><\/p>\n<ul>\n<li>En un <a class=\"markup--anchor markup--blockquote-anchor\" href=\"http:\/\/crd-legacy.lbl.gov\/~dhbailey\/dhbpapers\/tenproblems.pdf\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong class=\"markup--strong markup--blockquote-strong\"><em class=\"markup--em markup--blockquote-em\">art\u00edculo<\/em><\/strong><\/a>\u00a0de 2006 por <strong>D. H. Bailey, J M. Borwein, V. Kapoor <\/strong>y<strong> E. W. Weisstein<\/strong>, y gracias a la ayuda del utilizado programa\u00a0<em>Mathematica <\/em>(con la opci\u00f3n especial de calcular 100 d\u00edgitos de la parte decimal de una constante requerida), se hac\u00eda alusi\u00f3n a que el valor de la expresi\u00f3n que aparece en la siguiente imagen difiere de <em>\u03c0\/8<\/em> \u00fanicamente a partir del decimal n\u00famero 42. Casi nada al aparato&#8230;<\/li>\n<\/ul>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-618\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/06\/Inducci\u00f3n-5-1.jpg\" alt=\"\" width=\"1281\" height=\"350\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/06\/Inducci\u00f3n-5-1.jpg 1281w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/06\/Inducci\u00f3n-5-1-300x82.jpg 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/06\/Inducci\u00f3n-5-1-768x210.jpg 768w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/06\/Inducci\u00f3n-5-1-1024x280.jpg 1024w\" sizes=\"auto, (max-width: 1281px) 100vw, 1281px\" \/><\/p>\n<ul>\n<li>Decimos que un n\u00famero entero es un &#8220;<strong>cuadrado perfecto<\/strong>&#8221; cuando es el cuadrado de alg\u00fan otro (esto es, un n\u00famero cuya ra\u00edz cuadrada es un n\u00famero natural). Como de nuevo muestra este ejemplo, no basta comprobar la veracidad de una propiedad para unos cuantos valores de\u00a0<em>n<\/em>. En este caso, el ordenador nos indica que <strong><em>991n^2 + 1<\/em> no es un cuadrado perfecto para <em>n=1,2,3,&#8230;, 12055735790331359447442538766<\/em><\/strong>, pero \u00a1\u00a1\u00a1 <strong>s\u00ed lo es para <em>12055735790331359447442538767<\/em><\/strong> !!!<\/li>\n<\/ul>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-608 size-full\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/06\/Inducci\u00f3n-3.jpg\" alt=\"\" width=\"1366\" height=\"656\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/06\/Inducci\u00f3n-3.jpg 1366w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/06\/Inducci\u00f3n-3-300x144.jpg 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/06\/Inducci\u00f3n-3-768x369.jpg 768w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/06\/Inducci\u00f3n-3-1024x492.jpg 1024w\" sizes=\"auto, (max-width: 1366px) 100vw, 1366px\" \/><\/p>\n<ul>\n<li>En 1772 Leonhard Euler se dio cuenta que el polinomio cuadr\u00e1tico <em><strong>P(n)=n^2+n+41<\/strong><\/em> proporciona n\u00fameros primos para <em>n=0,1,&#8230;,39<\/em>. Sin embargo, <em>P(40)=1681=41\u00b741<\/em>. (De hecho, <em>P(n)=n\u00b7(n+1)+41<\/em> lo que significa que si <em>n<\/em> es m\u00faltiplo de <em>41<\/em> o <em>n+1<\/em> es m\u00faltiplo de <em>41<\/em> entonces <em>P(n)<\/em> ya no es primo).<\/li>\n<\/ul>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-609\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/06\/Inducci\u00f3n-4.jpg\" alt=\"\" width=\"804\" height=\"1036\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/06\/Inducci\u00f3n-4.jpg 804w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/06\/Inducci\u00f3n-4-233x300.jpg 233w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/06\/Inducci\u00f3n-4-768x990.jpg 768w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/06\/Inducci\u00f3n-4-795x1024.jpg 795w\" sizes=\"auto, (max-width: 804px) 100vw, 804px\" \/><\/p>\n<p>De hecho, <em>P(n)=n^2+n+p<\/em> genera n\u00fameros primos consecutivos \u00fanicamente para seis valores primos de <em>p<\/em> (los afortunados de Euler), y entre ellos encontramos a\u00a0<em>p=41<\/em>.<\/p>\n<ul>\n<li>Os muestro otro interesante ejemplo a trav\u00e9s del llamado <strong>problema de la regi\u00f3n perdida<\/strong>. Se\u00f1alemos <em>n<\/em> puntos\u00a0sobre una circunferencia de tal modo que al trazar todas las cuerdas posibles que los unen de dos en dos no haya tres cuerdas concurrentes. \u00bfEn cu\u00e1ntas regiones queda dividido el c\u00edrculo por estas cuerdas? Podemos comprobar que para <em>n=2, 3, 4<\/em> y <em>5<\/em> puntos resultan <em>2 = 2^1 , 4 = 2^2 , 8 = 2^3<\/em> y <em>16 = 2^4<\/em> regiones, respectivamente. Sin embargo, para <em>n=6<\/em>\u00a0s\u00f3lo resultan <em>31<\/em> regiones y no <em>2^5=32,\u00a0<\/em>de ah\u00ed el nombre del problema. Entre partido y partido del mundial, retamos al lector a encontrar la explicaci\u00f3n de este hecho (si est\u00e1is interesados en la resoluci\u00f3n tambi\u00e9n me pod\u00e9is escribir y os la proporciono).<\/li>\n<\/ul>\n<p>En definitiva, espero haber hecho hincapi\u00e9 en el peligro de sacar conclusiones r\u00e1pidamente. Por cierto, \u00bfocurrir\u00e1 lo mismo en la pr\u00f3xima edici\u00f3n del mundial de f\u00fatbol? \u00bfentrar\u00e1 de nuevo en juego la &#8220;maldici\u00f3n&#8221; y tendremos eliminaci\u00f3n del campe\u00f3n en Catar2022? Desde luego, lo que ya sabemos a estas alturas es que no podremos dar por hecho que el que tenga todas las papeletas para franquear la siguiente fase vaya realmente a superarla.<\/p>\n<p style=\"text-align: right\"><strong><em>Escrito por Juan Mat\u00edas Sepulcre<\/em><\/strong><\/p>\n<p><em class=\"markup--em markup--blockquote-em\">Este post forma parte del\u00a0<\/em><strong class=\"markup--strong markup--blockquote-strong\"><em class=\"markup--em markup--blockquote-em\">Carnaval de Matem\u00e1ticas<\/em><\/strong><em class=\"markup--em markup--blockquote-em\">, que en esta septuag\u00e9sima octava edici\u00f3n, tambi\u00e9n denominada 9.2, est\u00e1 organizado por @Pedrodanielpg a trav\u00e9s de su blog\u00a0<\/em><a class=\"markup--anchor markup--blockquote-anchor\" href=\"https:\/\/medium.com\/atodogauss\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong class=\"markup--strong markup--blockquote-strong\"><em class=\"markup--em markup--blockquote-em\">A todo Gauss.<\/em><\/strong><\/a>\u00a0Finalmente el post qued\u00f3 en segunda posici\u00f3n de esta edici\u00f3n con 41 puntos recibidos.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Los partidos de la vig\u00e9simo primera edici\u00f3n del mundial de f\u00fatbol masculino de Rusia siguen registrando audiencias espectaculares. Como en ediciones anteriores, y en este caso hasta el 15 de julio que se celebrar\u00e1 la gran final, el Mundial suscita, entre otros aspectos, un sinf\u00edn de apuestas estramb\u00f3ticas, pol\u00e9micas arbitrales, pasiones nacionales, el show de [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[676],"tags":[],"class_list":["post-599","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-sin-categoria"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/599","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=599"}],"version-history":[{"count":20,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/599\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":663,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/599\/revisions\/663"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=599"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=599"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=599"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}