{"id":626,"date":"2018-06-30T14:51:04","date_gmt":"2018-06-30T14:51:04","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=626"},"modified":"2018-07-13T15:44:08","modified_gmt":"2018-07-13T15:44:08","slug":"solucion-a-la-suma-divide-al-producto","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2018\/06\/30\/solucion-a-la-suma-divide-al-producto\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a la suma divide al producto"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 5 del primer nivel la Olimpiada de Mayo (2017)\r\nSe dirige a una edad de: 12 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Diremos que dos n\u00fameros enteros a y b forman una pareja adecuada si a+b divide a ab (su suma divide a su multiplicaci\u00f3n.<\/p>\n<p>Hallar 24 n\u00fameros que se puedan distribuir en 12 parejas adecuadas, de modo que cada n\u00famero figure en una \u00fanica pareja y el mayor de los enteros sea lo menor posible.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-medium wp-image-580\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/06\/48.Lasumadividealproducto-300x187.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"187\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nEn este ejercicio la primera dificultad consiste en encontrar un m\u00e9todo r\u00e1pido para conseguir parejas adecuadas, de forma que podamos construir o seleccionar entre los enteros r\u00e1pidamente doce parejas de n\u00fameros distintos.<\/p>\n<p>Una clave en la que nos podemos fijar es, que si tomamos el mayor divisor com\u00fan de la pareja adecuada, tendremos que el producto tendr\u00e1 este factor al cuadrado. Est\u00e1 claro que la suma tiene factor com\u00fan este mismo factor, y la suma de los otros dos factores debe dividir al producto de los dos n\u00fameros. Claro, que si divide a el factor com\u00fan, dividir\u00e1 al producto seguro. Si no es as\u00ed (si esa suma no divide al producto) deber\u00eda dividir a alguno de los otros factores de uno de los dos n\u00fameros, cosa que es imposible, ya que si tenemos un factor primo que divida a uno de los dos sumandos, pero no al otro, la suma de los dos no puede ser dividida por ese factor.<\/p>\n<p>As\u00ed, una manera muy simple de encontrar n\u00fameros adecuados es tomar dos n\u00fameros primos entre s\u00ed y multiplicarlos por m\u00faltiplos de su suma.<\/p>\n<p>Puesto que 1 + 2 = 3, 3 y 6 forman la pareja adecuada menor posible. Otras parejas adecuadas familia de esta suma ser\u00edan 6 y 12 (repetir\u00edamos el 6), 9 y 18, 12 y 24, 15 y 30, 18 y 36, 21 y 42, 24 y 48 y as\u00ed sucesivamente.<\/p>\n<p>Tambi\u00e9n 1 + 3 = 4, de forma que tenemos 4 y 12, 8 y 24, 12 y 36, 16 y 48, &#8230;<\/p>\n<p>Ahora, 2 + 3 = 5, por lo que tenemos 10 y 15, 20 y 30, 30 y 45,\u2026<\/p>\n<p>Tambi\u00e9n 1 + 4 = 5, y tenemos 5 y 20, 10 y 40, &#8230;<\/p>\n<p>Puesto que 1 + 5 = 6, tenemos 6 y 30, &#8230;<\/p>\n<p>Con suma 7, tenemos 1+6, por lo que estar\u00eda el 7 y  42.<\/p>\n<p>Tambi\u00e9n con 7, 2 + 5, que dar\u00eda el 14 y el 35.<\/p>\n<p>Y con 7 estar\u00eda el 3 + 4, es decir que ser\u00eda el 21 y el 28.<\/p>\n<p>Tambi\u00e9n con suma 8, el 3 y el 5, tendr\u00eda el 24 y el 42, es el \u00fanico por debajo de 50.<\/p>\n<p>Con suma 9, el 4 + 5, que da el 36 y el 45.<\/p>\n<p>Ya no es necesario tomar m\u00e1s ejemplos, ya que mirando por debajo del 50 podemos tomar 12 parejas (buscando no repetir n\u00fameros, aunque es dif\u00edcil seleccionarlas). Las ordenamos de forma que el n\u00famero mayor sea el menor posible, y tenemos 3 \u2013 6, 4 \u2013 12, 9 \u2013 18, 5 \u2013 20, 8 \u2013 24, 21 \u2013 28, 15 \u2013 30, 14 \u2013 35, 10 \u2013 40, 7 \u2013 42, 36 \u2013 45, y 16 \u2013 48.<\/p>\n<p>En resumen, si elegimos el conjunto de 24 n\u00fameros (por orden) 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16,  18, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45 y 48 se cumplen todas las condiciones. Por debajo del 48 es imposible, porque hay pocas parejas de n\u00fameros. Aunque llegan a superar a 12 el n\u00famero de parejas, usan muchos n\u00fameros repetidos, y son menos de 24.<\/p>\n<p>En efecto, si tomamos todas las parejas de n\u00fameros adecuados por debajo de 48 son exactamente 21 parejas, pero s\u00f3lo usan 22 n\u00fameros, (3, 4, 5, 6 (3 veces), 7, 8, 9, 10 (2 veces), 12 (4 veces), 14, 15 (2 veces), 18 (2 veces), 20 (2 veces), 21 (2 veces), 24 (3 veces), 28, 30 (4 veces), 35, 36 (3 veces), 40 (2 veces), 42 (2 veces), y 45 (2 veces)). La lista la hice pacientemente poniendo todos los n\u00fameros ordenados y sumando las veces que se repet\u00edan (pon\u00eda una marca junto al n\u00famero). As\u00ed se puede comprobar que se anotan 42 marcas.<\/p>\n<p>Evidentemente, es necesario incluir todas las parejas de aquellos n\u00fameros que se repitan una \u00fanica vez y marcar como utilizadas todas las parejas que incluyan a su pareja adecuada. Hay una \u00fanica manera de tomar estos 22 n\u00fameros para formar 11 parejas adecuadas. Luego, basta tomar una pareja que use el 48 y que no utilice ning\u00fan n\u00famero usado anteriormente, que debe ser el 16.<\/p>\n<p>Se trata de un problema complejo, en el que es necesario ser paciente y ordenado para cumplir todos los requisitos.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 5 del primer nivel la Olimpiada de Mayo (2017) Se dirige a una edad de: 12 a\u00f1os Diremos que dos n\u00fameros enteros a y b forman una pareja adecuada si a+b divide a ab (su suma divide a su multiplicaci\u00f3n. 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