{"id":676,"date":"2018-07-28T11:11:33","date_gmt":"2018-07-28T11:11:33","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=676"},"modified":"2018-08-03T15:41:18","modified_gmt":"2018-08-03T15:41:18","slug":"solucion-a-numeros-que-contienen-una-suma","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2018\/07\/28\/solucion-a-numeros-que-contienen-una-suma\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a n\u00fameros que contienen una suma"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 2 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo (2017)\r\nSe dirige a una edad de: 14 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Varios n\u00fameros reales diferentes est\u00e1n escritos en la pizarra.<\/p>\n<p>Si a, b y c son tres de estos n\u00fameros, al menos una de las siguientes sumas: a + b, a + c, b + c, tambi\u00e9n es uno de los n\u00fameros escritos en la pizarra.<\/p>\n<p>\u00bfCu\u00e1l es la mayor cantidad posible de n\u00fameros escritos en la pizarra?<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-673\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/07\/52numerosconsuma.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/07\/52numerosconsuma.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/07\/52numerosconsuma-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nSi jugamos un poco con n\u00fameros, descubriremos r\u00e1pidamente que es imposible elegir m\u00e1s de tres n\u00fameros positivos o tres negativos, ya que si ponemos m\u00e1s de esta cantidad, deberemos poner infinitos. Y que el cero podemos a\u00f1adirlo siempre, porque sumarlo no cambia al n\u00famero que se lo sumemos.<\/p>\n<p>Explicarlo es algo m\u00e1s complicado. Supongamos que tenemos cuatro n\u00fameros diferentes positivos (el razonamiento para negativos es similar). Si los tomamos ordenados de mayor a menor a, b, c y d, tendremos que a, b, c son diferentes, as\u00ed que una de las tres sumas, a + b, b + c o bien a + c tambi\u00e9n est\u00e1 escrito. Como a es el mayor, debe ser b + c (a + b y a + c deben ser mayores que a). Pero en ese caso, como es mayor que b, tenemos que b + c = a, que es el \u00fanico mayor que b. Si repetimos el razonamiento para a, b, y d, tendremos que b + d = a, pero en ese caso c y d deben ser iguales, lo que no es posible seg\u00fan nuestro supuesto inicial.<\/p>\n<p>Ahora, necesitamos, para finalizar, encontrar un conjunto que tenga tres n\u00fameros positivos, tres negativos y el cero, que ser\u00eda el m\u00e1s grande posible.<\/p>\n<p>Es sencillo encontrar varios. Por ejemplo, 6, 5, 1, 0, -1, -5, -6 ser\u00eda un conjunto con 7 n\u00fameros con esa propiedad, y no puede haber una cantidad mayor de n\u00fameros escritos en la pizarra con esa propiedad.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 2 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo (2017) Se dirige a una edad de: 14 a\u00f1os Varios n\u00fameros reales diferentes est\u00e1n escritos en la pizarra. Si a, b y c son tres de estos n\u00fameros, al menos una de las siguientes sumas: a + b, a + c, b + c, tambi\u00e9n [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-676","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/676","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=676"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/676\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":686,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/676\/revisions\/686"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=676"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=676"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=676"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}