{"id":683,"date":"2018-08-04T07:04:37","date_gmt":"2018-08-04T07:04:37","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=683"},"modified":"2018-08-04T07:04:37","modified_gmt":"2018-08-04T07:04:37","slug":"solucion-a-un-juego-justo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2018\/08\/04\/solucion-a-un-juego-justo\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a un juego justo"},"content":{"rendered":"
Problema 1 del reto de selecci\u00f3n para el MathCamp de Estados Unidos y Canad\u00e1 (2018)\r\nSe dirige a una edad de: 14-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Jo\u00e3o y Kinga juegan a un juego con un dado justo de n caras, que est\u00e1n numeradas del 1 al n. En este juego, a Jo\u00e3o se le asigna un valor j y a Kinga un valor k, ambos en rango del 1 al n. Jo\u00e3o y Kinga se turnan lanzando el dado, empezando a lanzarlo Jo\u00e3o.<\/p>\n
Si Jo\u00e3o obtiene un n\u00famero menor o igual que j, el juego acaba y \u00e9l gana. Si Kinga obtiene un n\u00famero menor o igual que k, entonces gana Kinga y el juego acaba. El juego contin\u00faa hasta que uno de los dos jugadores gana.<\/p>\n
Demuestra que si j = k, entonces Jo\u00e3o siempre tiene ventaja.<\/p>\n
Si n = 6, encuentra todos los posibles valores de j y k que hacen el juego justo (es decir, que hacen que tanto Jo\u00e3o como Kinga tengan una probabilidad de un 50% de ganar).<\/p>\n
Si n = 101, demuestra que ning\u00fan valor de j y k hacen el juego justo.
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nPrimero, vamos a intentar entender c\u00f3mo se calcula la probabilidad en un juego como \u00e9ste con un ejemplo sencillo. En segundo lugar, trataremos de estudiar los tres casos propuestos.<\/p>\n
Supongamos que el dado tiene s\u00f3lo tres caras, que Jo\u00e3o usa un valor 1 y Kinga un valor 2.<\/p>\n
Empieza jugando Jo\u00e3o, y la probabilidad de que en esa jugada el juego acabe, y Jo\u00e3o gane en ese caso es de 1\/3.<\/p>\n
En segundo lugar (si el juego no ha acabado, con una probabilidad 2\/3), tira Kinga, y tiene una probabilidad de 2\/3 de que el juego acabe y Kinga gane. \u00c9sto se dar\u00e1 con una probabilidad 4\/9.<\/p>\n
Si ninguno de esos escenarios se da (lo cual suceder\u00e1 con una probabilidad 2\/9), volvemos a empezar el juego, que se desarrolla de la misma forma.<\/p>\n
Hasta este punto, se trata de un c\u00e1lculo de probabilidad en forma de \u00e1rbol de dos bifurcaciones muy sencillo, pero a partir de este momento, se inicia un \u00e1rbol infinito, que est\u00e1 ilustrado en la imagen y que no hace f\u00e1cil el c\u00e1lculo de las ocasiones en las que gana Jo\u00e3o, y las que gana Kinga. Lo que parece claro es que, puesto que la probabilidad de que siga sin acabar el juego despu\u00e9s de dos jugadas se multiplica por 2\/9, la probabilidad de que el juego siga indefinidamente tiende a cero, es decir, la probabilidad de que el juego acabe es 1.<\/p>\n
Una forma de calcular la probabilidad que corresponde a Jo\u00e3o ser\u00eda sumar la probabilidad de que gane en la primera tirada, m\u00e1s la de que gane en la tercera, m\u00e1s la de que gane en la quinta, y as\u00ed sucesivamente en una suma infinita. Si nos damos cuenta, ser\u00e1 sumar 1\/3 + 2\/9\u00b71\/3 + (2\/9)\u00b2\u00b71\/3 +\u2026 \u00bfReconoc\u00e9is el patr\u00f3n? En efecto, es una suma de una progresi\u00f3n geom\u00e9trica. Se puede hacer a la manera telesc\u00f3pica, o bien con una f\u00f3rmula, y su probabilidad ser\u00e1 1\/3\/(1 \u2013 2\/9) = 1\/3\u00b7(9\/7) = 3\/7. Y, claro, la probabilidad de que sea Kinga la que gane, ser\u00e1 4\/7 (calculada de la misma forma o bien restando de 1).<\/p>\n
Otra forma es mediante una sencilla ecuaci\u00f3n, pensando que si x es la probabilidad de que gane Jo\u00e3o, volver\u00e1 a ser la probabilidad de que gane Jo\u00e3o si llegamos a la tercera jugada, por lo que x = 1\/3 + 2\/9\u00b7x, de donde obtenemos que x = 3\/7, y de ah\u00ed la probabilidad de que gane Kinga ser\u00e1 4\/7.<\/p>\n
Una tercera forma es suponer que el caso en el que el juego contin\u00faa, no influye en el resultado del juego, es decir, los dos casos v\u00e1lidos suceden cantidades de veces equivalentes a 1\/3 = 3\/9 y 4\/9, es decir, que la totalidad de resultados v\u00e1lidos son 7\/9. Si repartimos la probabilidad entre ambo casos, respectivamente, tendremos (3\/9)\/(7\/9) = 3\/7 para Jo\u00e3o y (4\/9)\/(7\/9)= 4\/7 para Kinga.<\/p>\n
Como vemos, las tres interpretaciones dan id\u00e9ntico resultado. Podemos calcular las probabilidades con cualquiera de los tres m\u00e9todos.<\/p>\n
Vamos entonces con el apartado (a), en el que j = k = a. La probabilidad de que gane Jo\u00e3o en la primera jugada ser\u00e1 a\/n, y la probabilidad de que pasemos a la segunda jugada ser\u00e1 (n \u2013 a)\/n.
\nLa probabilidad de que gane Kinga en esa segunda jugada ser\u00e1 de a(n \u2013 a)\/n\u00b2 y la probabilidad de que lleguemos a la tercera jugada ser\u00e1 de (n \u2013 a)\u00b2\/n\u00b2.<\/p>\n
De nuevo, tratando el caso como en el ejemplo, la suma que hay que hacer para descubrir la probabilidad de Jo\u00e3o valdr\u00e1 (a\/n)\/(1 \u2013 (n \u2013 a)\u00b2\/n\u00b2)  = (an\u00b2)\/(2an\u00b2 \u2013 a\u00b2n) = n\/(2n \u2013 a), mientras que la probabilidad de que gane Kinga es 1 \u2013  n\/(2n \u2013 a) = (n \u2013 a)\/(2n \u2013 a). Evidentemente, puesto que a es un n\u00famero entre 1 y n, la probabilidad no puede ser la misma nunca para ambos.<\/p>\n
Vayamos con el apartado (b), en el que n vale exactamente 6, y debemos determinar j y k, en el supuesto de que ambas probabilidades valen un 50%.<\/p>\n
En este caso, la probabilidad de que gane Jo\u00e3o en la primera jugada es j\/6, mientras que la probabilidad de que lleguemos a la tercera jugada ser\u00e1 (6 \u2013 j)\u00b7(6 \u2013 k)\/36 = (36 \u2013 6j \u2013 6k + jk)\/36.<\/p>\n
De esta forma, la suma que lleva a la probabilidad de Jo\u00e3o es (j\/6)\/(1 \u2013 (6 \u2013 j)\u00b7(6 \u2013 k)\/36) = 6j\/(6j + 6k \u2013 jk). Puesto que esta probabilidad debe ser 1\/2, la relaci\u00f3n que se debe dar es que 12j =  6j + 6k \u2013 jk, de donde podemos deducir que 6j = k(6 \u2013 j), por lo que k = 6j\/(6 \u2013 j) debe ser entero y estar entre 1 y 6. Puesto que j debe ser un valor entero entre 1 y 6, es sencillo estudiar cu\u00e1les cumplen esta condici\u00f3n. Para j = 1 no obtenemos un k entero, pero para j = 2, obtenemos un k = 3, y para j = 3, k = 6. No hay m\u00e1s valores, ya que k no puede superar el valor 6.<\/p>\n
Como conclusi\u00f3n, para un dado de 6 caras el juego ser\u00e1 justo (de forma muy evidente) si Jo\u00e3o juega con un valor 3 y Kinga con un valor 6 (en ese caso, seguro que el juego se acaba en menos de tres jugadas), y (de una forma m\u00e1s dif\u00edcil de calcular, pero m\u00e1s interesante) si Jo\u00e3o juega con un 2 y Kinga con un 3.<\/p>\n
Y, por \u00faltimo, vayamos con el apartado (c). Ahora, n = 101. La probabilidad de que Jo\u00e3o gane en la primera jugada ser\u00e1 de j\/101, y la de que llegue a la tercera jugada ser\u00e1 de (101 \u2013 j)\u00b7(101 \u2013 k)\/101\u00b2.<\/p>\n
De esta forma, la suma que lleva a la probabilidad de Jo\u00e3o es (j\/101)\/(1 \u2013 (101 \u2013 j)\u00b7(101 \u2013 k)\/101\u00b2) = 101j\/(101j + 101k \u2013 jk). Si queremos que esta probabilidad sea de 1\/2, debe darse que 202j = 101j + 101k \u2013 jk, y por tanto 101j = k(101 \u2013 j). De esta relaci\u00f3n, puesto que 101 es primo, y no puede dividir a 101 \u2013 j, que es necesariamente un n\u00famero menor que 101, debe dividir a k, por lo que k deber\u00eda ser 101, pero en ese caso, j debe valer la mitad de 101, que no es un n\u00famero entero.<\/p>\n
Por este motivo, no puede existir un juego justo de este tipo con un dado de 101 caras.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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