{"id":693,"date":"2018-08-11T06:54:41","date_gmt":"2018-08-11T06:54:41","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=693"},"modified":"2018-08-11T11:47:22","modified_gmt":"2018-08-11T11:47:22","slug":"solucion-a-dos-paralelas-en-un-circulo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2018\/08\/11\/solucion-a-dos-paralelas-en-un-circulo\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a dos paralelas en un c\u00edrculo"},"content":{"rendered":"
Problema 1 de la Olimpiada Internacional (2018)\r\nSe dirige a una edad de: 17-19 a\u00f1os<\/pre>\n
Sea P la circunferencia circunscrita al tri\u00e1ngulo acut\u00e1ngulo ABC. Los puntos D y E est\u00e1n en los segmentos AB y AC, respectivamente, y son tales que AD = AE. Las mediatrices de BD y CE cortan a los arcos menores AB y AC de P en los puntos F y G, respectivamente.<\/p>\n
Demostrar que las rectas DE y FG son paralelas (o son la misma recta).
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\nSoluci\u00f3n:
\n
\nSe trata de un problema realmente dif\u00edcil, para mi gusto. La construcci\u00f3n no es muy complicada, pero el resultado no es inmediato.<\/p>\n
Hay varias formas de probarlo, incluso una algebraica usando n\u00fameros complejos, pero como es un problema de geometr\u00eda, vamos a tratar de resolverlo con resultados geom\u00e9tricos conocidos.<\/p>\n
Lo m\u00e1s elemental del dibujo es que, por estar a la misma distancia E y D de A, est\u00e1n sobre otra circunferencia de centro A. La intersecci\u00f3n de ambas circunferencias tiene una curiosa propiedad, en este contexto.
\n\"\"
\nDebemos observar que, cuando trazamos la mediatriz, todos los puntos, incluido el F, est\u00e1n a la misma distancia de B y de D. y por tanto, los dos \u00e1ngulos FDB y FBD son iguales. Pero, claro, en la otra circunferencia, AD es un radio, mide lo mismo que AX, por lo que AXD forma un tri\u00e1ngulo is\u00f3sceles, y el \u00e1ngulo AXD mide tambi\u00e9n lo mismo que ADX. Como X es un punto de la circunferencia P que forma \u00e1ngulo entre A y F, al igual que B, resulta que los cuatro \u00e1ngulos son iguales. Es decir, que la linea que une F con D pasa por la intersecci\u00f3n de las dos circunferencias, igual que la linea que une G con E por la otra intersecci\u00f3n.<\/p>\n
El dibujo, entonces, se puede ver de otra forma, si incluimos las dos intersecciones (X e Y).
\n\"\"
\nAhora, el \u00e1ngulo XDE es el mismo, por estar en la circunferencia de centro A, que el XYE, que es el XYG, y que es el mismo que XFG, por estar Y y F en la misma circunferencia P.<\/p>\n
Como el \u00e1ngulo XDE es el mismo que XFG, los segmentos DE y FG son paralelos, como se quer\u00eda demostrar.<\/p>\n
Nuestro amigo Ignacio Larrosa nos ha hecho un applet de Geogebra<\/a>. En \u00e9l puedes modificar la posici\u00f3n de los puntos y verificar que se sigue cumpliendo. \u00a1Muchas gracias!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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