{"id":703,"date":"2018-08-18T07:29:01","date_gmt":"2018-08-18T07:29:01","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=703"},"modified":"2018-08-18T10:17:42","modified_gmt":"2018-08-18T10:17:42","slug":"solucion-a-juego-con-raiz-de-5","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2018\/08\/18\/solucion-a-juego-con-raiz-de-5\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a juego con ra\u00edz de 5"},"content":{"rendered":"
Problema 4 de la Olimpiada Internacional (2018)\r\nSe dirige a una edad de: 17-19 a\u00f1os<\/pre>\n
Un lugar es un punto (x, y) en el plano tal que x e y son ambos enteros positivos menores o iguales que 20.<\/p>\n
Al comienzo, cada uno de los 400 lugares est\u00e1 vac\u00edo.<\/p>\n
Ana y Beto colocan piedras alternadamente, comenzando por Ana. En su turno, Ana coloca una nueva piedra roja en un lugar vac\u00edo tal que su distancia entre cualesquiera dos lugares ocupados por una piedra roja es distinto de la ra\u00edz de 5.<\/p>\n
En su turno, Beto coloca una nueva piedra azul en cualquier lugar vac\u00edo (un lugar ocupado por una piedra azul puede estar a cualquier distancia de cualquier otro lugar ocupado).<\/p>\n
Ellos paran cuando alguno de los dos no pueda colocar una piedra.<\/p>\n
Halla el mayor k tal que Ana pueda asegurarse de colocar al menos K piedras rojas, sin importar c\u00f3mo Beto coloque sus piedras azules.
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\nSoluci\u00f3n:
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\nOtro problema digno de Olimpiada Internacional. Da mucho que pensar, aunque no es de dificultad excesivamente elevada. En este problema hemos iniciado una secci\u00f3n de encuestas en las que puedes dejar tu opini\u00f3n sobre la dificultad.<\/p>\n
Lo primero que debemos hacer, puesto que estamos m\u00e1s familiarizados, es transformar nuestra red de lugares en un tablero cuadrado de 20×20 casillas. En ese caso, los jugadores ir\u00e1n poniendo fichas rojas y azules, y la dificultad relacionada con las distancias consiste en que no podemos situar dos fichas rojas de forma que el vector (2, 1) o el (1, 2), o cualquiera con los mismos valores absolutos transforme un punto en el otro. En nuestro tablero, de una ficha roja a otra no debemos poder pasar con un movimiento de caballo de ajedrez. \u00c9sto es debido a que la distancia ra\u00edz de 5 s\u00f3lo se puede conseguir si la suma de las variaciones de la posici\u00f3n horizontal y de la vertical al cuadrado da 5, y la \u00fanica forma de conseguir un 5 sumando dos cuadrados enteros es usando un dos (o un menos dos) y un uno (o un menos uno).<\/p>\n
En definitiva, que cada vez que Ana ponga una ficha, estar\u00e1 bloqueando (no podr\u00e1 usar) entre dos y ocho casillas, como est\u00e1 representado en la siguiente imagen.
\n\"\"<\/p>\n
Ahora, conviene ensayar con tableros peque\u00f1os. Primero, a jugar como si Beto no existiese, y despu\u00e9s, introduciendo un Beto que trate de bloquear posiciones para Ana.<\/p>\n
El tablero m\u00e1s ilustrativo, es el de 4×4, ya que es par, como nuestro ejemplo, y suficientemente grande como para hacer movimientos de caballo.<\/p>\n
Cada vez que Ana sit\u00faa una ficha, bloquea varias posiciones, por lo que deber\u00eda situarla de forma que s\u00f3lo bloquee casillas ya bloqueadas, para que pueda poner una cantidad grande de fichas. Pensando en un tablero ajedrezado, cada vez que sit\u00faa sus fichas sobre casillas de un color, bloquea casillas de color contrario, as\u00ed que parece l\u00f3gico que siempre sit\u00fae sus fichas sobre un mismo color.<\/p>\n
Por lo tanto, si juega sola en un tablero 4×4, podr\u00e1 situar un m\u00e1ximo de 8 fichas, cuidando de escoger s\u00f3lo casillas blancas o negras.<\/p>\n
Si juega con Beto, y Beto se da cuenta de esa estrategia, puede ir tapando casillas de ese mismo color, seg\u00fan haya escogido Ana inicialmente, para impedirle colocar la mitad de esas fichas, hasta un m\u00e1ximo de 4.<\/p>\n
Si Ana no juega con esa estrategia, cada vez que sit\u00fae una ficha, bloquear\u00e1 m\u00e1s de las que ponga (cada ficha bloquea dos casillas, por lo menos), y podr\u00eda situar menos de la tercera parte de las disponibles. Como adem\u00e1s, Beto puede tratar de tapar casillas ventajosas desde el punto de vista de Ana, Ana no obtendr\u00eda m\u00e1s fichas puestas de las 4 que hemos estudiado.<\/p>\n
As\u00ed, Cada movimiento de Ana, Beto debe estudiar qu\u00e9 casillas han quedado bloqueadas, y desde qu\u00e9 casillas se bloquean las mismas (que, normalmente, tendr\u00e1n el mismo color que donde ha puesto Ana), situando su ficha en una de ellas. Y, por tanto Ana puede colocar 4 fichas haga lo que haga Beto, y no m\u00e1s.<\/p>\n
A continuaci\u00f3n, expongo una animaci\u00f3n en la que se estudia una partida de este tipo.
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El tablero de 20×20 es un tablero que contiene 25 tableros 4×4. Si Beto juega de la misma forma que hemos descrito en cada uno de ellos (siempre en el mismo que juegue Ana), en cada uno de los 25 Ana no podr\u00e1 situar m\u00e1s de 4, por lo que k vale 100 = 25×4, y Beto podr\u00e1 impedir que ponga una m\u00e1s. Y podr\u00e1 situarlas siempre, si recurre a casillas en diagonal (que tengan el mismo color).<\/p>\n
Por favor, danos tu opini\u00f3n sobre la dificultad de este problema en la encuesta siguiente.
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