{"id":727,"date":"2018-09-01T21:23:44","date_gmt":"2018-09-01T21:23:44","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=727"},"modified":"2018-09-01T21:23:44","modified_gmt":"2018-09-01T21:23:44","slug":"solucion-a-dos-cuadrados-perfectos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2018\/09\/01\/solucion-a-dos-cuadrados-perfectos\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a dos cuadrados perfectos"},"content":{"rendered":"
Problema 1 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo (2018)\r\nSe dirige a una edad de: 14 a\u00f1os<\/pre>\n
Se tiene un n\u00famero de 4 d\u00edgitos que es un cuadrado perfecto.<\/p>\n
Se construye otro n\u00famero sum\u00e1ndole 1 al d\u00edgito de las unidades, rest\u00e1ndole uno al de las decenas, sum\u00e1ndole uno al de las centenas, y rest\u00e1ndole uno al d\u00edgito de las unidades de millar.<\/p>\n
Si el n\u00famero que se obtiene tambi\u00e9n es un cuadrado perfecto, encuentra el n\u00famero original. \u00bfHay una \u00fanica soluci\u00f3n?
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nEs f\u00e1cil conocer la diferencia entre estos dos cuadrados, ya que sabemos qu\u00e9 pasa cuando a un d\u00edgito de un n\u00famero le a\u00f1adimos o le quitamos una unidad.<\/p>\n
Puesto que el n\u00famero obtenido es menor (le restamos a las unidades de millar), restamos al n\u00famero original el segundo.<\/p>\n
Para quitarle una unidad al d\u00edgito de las unidades de millar, la diferencia es de 1000. Pero como queremos a\u00f1adir uno a la de las centenas, s\u00f3lo restamos 900. Para, adem\u00e1s, quitar una unidad al d\u00edgito de las decenas, lo que tenemos que restar el 910,  y si queremos a\u00f1adir despu\u00e9s de todo una unidad a las unidades, restamos 909.<\/p>\n
Por ejemplo, si parti\u00e9semos del n\u00famero 3465 (que no es cuadrado), el resultado ser\u00eda 2556, y si realizamos la operaci\u00f3n 3465 \u2013 909 = 2556, efectivamente.<\/p>\n
Hay que tener cuidado, puesto que no todos los n\u00fameros de cuatro cifras son \u00fatiles para hacer esta transformaci\u00f3n, ya que no podemos aumentar un d\u00edgito si es 9, ni disminuirlo si es 0, salvo que entremos en el concepto de la aritm\u00e9tica del reloj, y en esos casos la operaci\u00f3n que habr\u00eda que hacer ser\u00eda diferente. No consideraremos ese caso, dudo que obtuvi\u00e9semos un cuadrado con esas propiedades, pero es verdad que ten\u00eda que citarlo (gracias por record\u00e1rmelo, Javier).<\/p>\n
Ahora, como la diferencia entre dos cuadrados, seg\u00fan hemos estudiado en clase de matem\u00e1ticas, es un producto de suma por diferencia (recuerda, a\u00b2 \u2013 b\u00b2 = (a + b)(a \u2013 b)), esta suma y esta diferencia ser\u00e1n dos factores de 909 = 3\u00b73\u00b7101, as\u00ed que tenemos varias posibilidades que podemos estudiar.<\/p>\n
Hay que tener en cuenta que siempre a + b es mayor que a \u2013 b, y que por la factorizaci\u00f3n de 909 hay 6 posibles divisores.<\/p>\n
Si a + b = 909 y a \u2013 b = 1, resolviendo el sistema, tendr\u00edamos a = 455 y b = 454, con lo que nuestros cuadrados ser\u00edan demasiado grandes (por si no te acuerdas, sumando ambas expresiones, 2a = 910, luego a = 455, y como 455 \u2013 b = 1, est\u00e1 claro que b = 454).<\/p>\n
Si a + b = 303 y a \u2013 b = 3, tendremos que a = 153 y b = 150, que siguen siendo demasiado grandes.<\/p>\n
Si a + b = 101 y a \u2013 b = 9, tendremos que a = 55 y b = 46, cuyos cuadrados tienen cuatro cifras, por lo que sus cuadrados son la \u00fanica soluci\u00f3n posible, 3025 y 2116.<\/p>\n
El n\u00famero que buscamos es, por tanto, 3025. Evidentemente, las cifras cumplen la condici\u00f3n que se pide, pues 3 y 2 son mayores que 0 y 0 y 5 son menores que 9. Y la soluci\u00f3n es \u00fanica.<\/p>\n
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