{"id":75,"date":"2017-07-29T09:42:15","date_gmt":"2017-07-29T09:42:15","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=75"},"modified":"2018-09-22T08:31:33","modified_gmt":"2018-09-22T08:31:33","slug":"pulseras-de-fibonacci-s","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2017\/07\/29\/pulseras-de-fibonacci-s\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a Pulseras de Fibonacci"},"content":{"rendered":"
Prueba de selecci\u00f3n para ESTALMAT 2016\r\n\r\nSe dirige a una edad de: 11\/13<\/pre>\n
Disponemos de muchas cuentas, numeradas del 0 al 7.<\/p>\n
Tratamos de hacer pulseras, siguiendo unas reglas.<\/p>\n
En cada pulsera, al sumar los n\u00fameros de dos cuentas consecutivas, debe dar el n\u00famero de la que les sigue.<\/p>\n
Si esa suma es mayor de 7, empezaremos a contar desde 0 de nuevo, es decir, si la suma da once, por ejemplo, la cuenta que pondremos ser\u00e1 la 3, ya que el ocho es como la cuenta 0, el nueve ser\u00e1 como el 1, el diez como el 2, y el once como el 3. En el momento que vuelvan a repetirse dos cuentas, podremos cerrar la pulsera.<\/p>\n
Un ejemplo de pulsera ser\u00eda la que aparece debajo de esta l\u00ednea.<\/p>\n
\"\"<\/p>\n
Indica todas las pulseras diferentes que pueden construirse, detallando por qu\u00e9 no pueden hacerse m\u00e1s.<\/p>\n
<\/p>\n
Se trata de un problema de explorar y construir, que parece muy largo, pero no lo es tanto si nos fijamos un poco.<\/p>\n
Como podr\u00edamos empezar por cualquier par de cuentas, imaginemos que empezamos por el par 1 \u2013 1, por ejemplo. Tendr\u00edamos que poner a continuaci\u00f3n el 2, el 3, el 5 y despu\u00e9s el 0, el 5, el 5, el 2, el 7, el 1, el 0, el 1 y otra vez el 1. Como hemos repetido, cerramos una pulsera 1 \u2013 1 \u2013 2 \u2013 3 \u2013 5 \u2013 0 \u2013 5 \u2013 5 \u2013 2 \u2013 7 \u2013 1 \u2013 0 . Esta pulsera tiene 12 cuentas, y empezando con cualquier par de ellas saldr\u00eda la misma pulsera (es decir, si empezamos con las cuentas 1 \u2013 2 o con las cuentas 0 \u2013 5 tambi\u00e9n obtenemos la misma pulsera). Para construir una pulsera diferente hay que buscar un par que no est\u00e9 en ninguna de las dos que ya conocemos. Ya tenemos una pulsera con 6 (la del ejemplo) y otra con 12.<\/p>\n
La tercera pulsera la podemos empezar, por ejemplo, con las cuentas 1 \u2013 3, ya que esta pareja no ha aparecido hasta ahora. Sale 1 \u2013 3 \u2013 4 \u2013 7 \u2013 3 \u2013 2 \u2013 5 \u2013 7 \u2013 4 \u2013 3 \u2013 7 \u2013 2 , y tambi\u00e9n tiene 12 cuentas.<\/p>\n
Con 1 \u2013 4 sale la pulsera 1 \u2013 4 \u2013 5 \u2013 1 \u2013 6 \u2013 7 \u2013 5 \u2013 4 \u2013 1 \u2013 5 \u2013 6 \u2013 3, tambi\u00e9n de 12.<\/p>\n
Con la pareja 1 \u2013 5 o la pareja 1 \u2013 6 de nuevo sale la misma. La \u00faltima que tiene 1 es 1 \u2013 7 \u2013 0 \u2013 7 \u2013 7 \u2013 6 \u2013 5 \u2013 3 \u2013 0 \u2013 3 \u2013 3 \u2013 6.<\/p>\n
Ya tenemos todos los pares que empiezan con 1. Con 2, tenemos ya el 2 \u2013 0 (la de ejemplo), 2 \u2013 1 (la segunda de las de 12, observa que acaba en 2 y empieza en 1) y, siguiendo as\u00ed, s\u00f3lo falta el 2 \u2013 6, que da 2 \u2013 6 \u2013 0 \u2013 6 \u2013 6 \u2013 4, de nuevo una pulsera de 6 cuentas.<\/p>\n
F\u00edjate que las pulseras dependen de los pares de cuentas, pero tambi\u00e9n del orden. No sale la misma pulsera si empezamos con 1 \u2013 2 que con 2 \u2013 1. La siguiente cuenta ser\u00eda la misma en los dos casos, pero la cuarta no, en un caso sale 1 \u2013 2 \u2013 3 \u2013 5 y en el otro 2 \u2013 1 \u2013 3 \u2013 4, es decir, que se construyen pulseras diferentes. As\u00ed que hay que revisar todos los pares, que ser\u00e1n 64 distintos.<\/p>\n
Con 3, ya han salido todas las parejas, pero con 4 falta 4 \u2013 0 \u2013 4, una pulsera con s\u00f3lo 3 cuentas.<\/p>\n
Podemos revisar ahora todas las parejas que empiezan por 5, 6 o 7, pero las vamos a encontrar en las pulseras que llevamos encontradas.<\/p>\n
He dejado para el final la m\u00e1s extra\u00f1a, ya que si empezamos por 0 \u2013 0, tenemos una pulsera de 2 cuentas, pero que, si pensamos bien, en realidad deber\u00eda tener s\u00f3lo una cuenta, ya que 0 es la siguiente a s\u00ed misma y tambi\u00e9n el resultado de la suma.<\/p>\n
Adem\u00e1s, si a\u00f1adimos esta pulsera a la lista de pulseras, habremos utilizado en realidad 64 cuentas para hacer estas 8 pulseras (6 + 12 + 12 + 12 + 12 + 6 + 3 + 1 = 64), que coincide exactamente con todos los posibles pares que forman con ocho cuentas diferentes (8 diferentes para la primera y otras 8 para la segunda). Si las pones ordenadas, es sencillo verlo:<\/p>\n
0-0, 0-1, 0-2, \u2026 , 0-7
\n1-0, 1-1, 1-2, \u2026 , 1-7
\n2-0, 2-1, 2-2, \u2026 , 2-7
\n\u2026
\n7-0, 7-1, 7-2, \u2026 , 7-7<\/p>\n
En realidad, esta \u00faltima observaci\u00f3n no sale de forma autom\u00e1tica. Al principio, la pulsera con s\u00f3lo un 0 la ten\u00eda con dos 0, y por tanto usaba 65 cuentas. Me llam\u00f3 la atenci\u00f3n, pero no relacion\u00e9 lo que suced\u00eda hasta que trat\u00e9 de hacer algo similar con otra cantidad de cuentas (en mi caso, prob\u00e9 a hacer pulseras s\u00f3lo con las cuentas del 0 al 3, y me sal\u00eda 0, 0 \u2013 1 \u2013 1 \u2013 2 \u2013 3 \u2013 1, 0 \u2013 2 \u2013 2, y 0 \u2013 3 \u2013 3 \u2013 2 \u2013 1 \u2013 3, que son en total 16 cuentas 1 + 6 + 3 + 6 = 16). Al ver una cantidad tan similar al cuadrado de 4 en un caso y al cuadrado de 8 en otro, le busqu\u00e9 una explicaci\u00f3n.<\/p>\n
Y es que cada pareja sale una \u00fanica vez, y cada cuenta aparece (por ser circulares las pulseras) en dos parejas, con la de delante y con la de detr\u00e1s. Por eso usamos las mismas cuentas que parejas.<\/p>\n
La respuesta es, por tanto, que se pueden hacer 8 pulseras, que aparecen detalladas a continuaci\u00f3n:<\/p>\n
2 \u2013 2 \u2013 4 \u2013 6 \u2013 2 \u2013 0
\n1 \u2013 1 \u2013 2 \u2013 3 \u2013 5 \u2013 0 \u2013 5 \u2013 5 \u2013 2 \u2013 7 \u2013 1 \u2013 0
\n1 \u2013 3 \u2013 4 \u2013 7 \u2013 3 \u2013 2 \u2013 5 \u2013 7 \u2013 4 \u2013 3 \u2013 7 \u2013 2
\n1 \u2013 4 \u2013 5 \u2013 1 \u2013 6 \u2013 7 \u2013 5 \u2013 4 \u2013 1 \u2013 5 \u2013 6 \u2013 3
\n1 \u2013 7 \u2013 0 \u2013 7 \u2013 7 \u2013 6 \u2013 5 \u2013 3 \u2013 0 \u2013 3 \u2013 3 \u2013 6
\n2 \u2013 6 \u2013 0 \u2013 6 \u2013 6 \u2013 4
\n4 \u2013 0 \u2013 4
\n0<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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