{"id":796,"date":"2018-09-29T21:33:06","date_gmt":"2018-09-29T21:33:06","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=796"},"modified":"2018-09-30T07:26:41","modified_gmt":"2018-09-30T07:26:41","slug":"solucion-a-los-polinomios-del-2017-y-del-2018","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2018\/09\/29\/solucion-a-los-polinomios-del-2017-y-del-2018\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a los polinomios del 2017 y del 2018"},"content":{"rendered":"
Problema 7 de la Olitele (Olimpiada Telem\u00e1tica de Catalu\u00f1a) 2017\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
a) Para una funci\u00f3n polin\u00f3mica de segundo grado p(x) = x\u00b2 + ax + b con coeficientes a y b enteros, existen dos n\u00fameros diferentes m y n que cumplen p(m) = p(n) = 2017. Demuestra que no existe ning\u00fan n\u00famero entero z que cumpla p(z) = 2018.<\/p>\n
b) Dar un ejemplo de una funci\u00f3n polin\u00f3mica q(x) con coeficientes enteros para la cual existan tres n\u00fameros enteros n, m y z que cumplan q(m) = q(n) = 2017 y q(z) = 2018.<\/p>\n
c) Para una funci\u00f3n polin\u00f3mica de grado n f(x) = xn<\/sup> + \u2026 con coeficientes enteros, existen tres n\u00fameros enteros diferentes m, q y r, que cumplen f(m) = f(q) = f(r) = 2017. Demuestra que no puede haber ning\u00fan n\u00famero entero z que cumpla f(z) = 2018.
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:<\/p>\n
Hay varias formas de afrontar el apartado (a). Por ejemplo, tratando de resolver un sistema para ver qu\u00e9 valen a y b, o considerar su expresi\u00f3n gr\u00e1fica. Pero la m\u00e1s \u00fatil para abordar las siguientes preguntas es tratar de factorizar la expresi\u00f3n del polinomio.<\/p>\n
Puesto que p(m) = p(n) = 2017, si tratamos con el polinomio p(x) \u2013 2017, r\u00e1pidamente veremos que tiene dos ceros, m y n. Por el teorema del resto, sabemos que p(x) \u2013 2017 = (x \u2013 m)(x \u2013 n), ya que es de segundo grado y debe ser divisible tanto por x \u2013 m como por x \u2013 n, y, adem\u00e1s, tiene coeficiente principal 1.<\/p>\n
Es decir, que p(x) = (x \u2013 m)(x \u2013 n) + 2017, y si queremos encontrar un valor z que d\u00e9 2018, tendremos que (z \u2013 m)(z \u2013 n) = 1. Pero z \u2013 m y z \u2013 n son dos n\u00fameros enteros distintos y deben dar 1, lo cual es imposible, ya que el 1 s\u00f3lo admite dos factorizaciones 1\u00b71 y (-1)\u00b7(-1).<\/p>\n
Por lo tanto, queda probado el apartado (a).<\/p>\n
Podemos usar la pista para resolver la (b) que hemos sacado del (a). Necesitamos un polinomio que tenga tres factores. Por ejemplo, podemos usar (-1)(x \u2013 2)(x \u2013 4), ya que si usamos z = 3, tendremos un producto de tres factores -1, 1 y -1, que da 1. Este polinomio, bien construido, ser\u00eda (-1)(x \u2013 2)(x \u2013 4) + 2017 = – x\u00b2 + 6x + 2009, y podemos comprobar que en 2 y en 4 da 2017, mientras que en 3 da 2018.<\/p>\n
Tambi\u00e9n podr\u00edamos usar (x \u2013 2)(x \u2013 4)\u00b2, ya que ser\u00eda 1\u00b7(-1)\u00b2 = 1, y tambi\u00e9n funcionar\u00eda, manteniendo el coeficiente 1 como el del apartado (a). En este caso ser\u00eda (x \u2013 2)(x \u2013 4)\u00b2 + 2017 = x\u00b3 \u2013 10x\u00b2 + 32 x + 1985, que de nuevo en 2 y en 4 da 2017, mientras que en 3 da 2018.<\/p>\n
Resueltos ya (a) y (b), pong\u00e1monos con (c). Hay que dar un paso m\u00e1s en la abstracci\u00f3n.<\/p>\n
En este caso, ya no vale un sistema de ecuaciones, ni un m\u00e9todo gr\u00e1fico. Hemos de factorizar el polinomio.<\/p>\n
De nuevo, aplicando el teorema del resto, f(x) \u2013 2017 tiene tres ceros, m, q y r.<\/p>\n
Por tanto, es divisible por (x \u2013 m), por (x \u2013 q) y por (x \u2013 r).<\/p>\n
Claro, como puede ser de grado mayor que tres (necesita ser al menos de grado tres para ser divisible por esos tres), a\u00fan quedar\u00e1 un polinomio cociente despu\u00e9s de dividir por esos factores (a lo mejor el cociente vale la constante 1, pero puede ser otro polinomio), por lo que sabemos que f(x) \u2013 2017 = (x \u2013 m)(x \u2013 n)(x \u2013 r)h(x), donde h es otro polinomio, de grado cero o mayor.<\/p>\n
El caso es que si suponemos que z es un n\u00famero entero en el que f(z) = 2018, tendremos que 1 = (z \u2013 m)(z \u2013 n)(z \u2013 r)h(x), que es producto de cuatro n\u00fameros, de los que al menos tres son distintos, y eso es imposible porque 1 s\u00f3lo tiene dos divisores enteros diferentes, 1 y -1. Por lo que no existe tal z.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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