{"id":800,"date":"2018-09-22T08:19:53","date_gmt":"2018-09-22T08:19:53","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=800"},"modified":"2018-09-22T08:19:53","modified_gmt":"2018-09-22T08:19:53","slug":"solucion-a-circunferencia-fija","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2018\/09\/22\/solucion-a-circunferencia-fija\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a circunferencia fija"},"content":{"rendered":"
Problema 1 de la Olimpiada Matem\u00e1tica Femenina Europea (EGMO 2018)\r\nSe dirige a una edad de: 17 a\u00f1os<\/pre>\n
Sea ABC un tri\u00e1ngulo de forma que CA = CB y el \u00e1ngulo ACB mida 120\u00ba, y sea M el punto medio de AB.<\/p>\n
Sea P un punto variable de la circunferencia que pasa por A, B y C.<\/p>\n
Sea Q el punto en el segmento CP tal que QP = 2QC.<\/p>\n
Se sabe que la recta que pasa por P y es perpendicular a la recta AB interseca a la recta MQ en un \u00fanico punto N.<\/p>\n
Demuestre que existe una circunferencia fija tal que N se encuentra en esa circunferencia  para todas las posibles posiciones de P.
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\nEn esta ocasi\u00f3n se trata de un problema de construcci\u00f3n geom\u00e9trica no demasiado complicado.<\/p>\n
Lo m\u00e1s dif\u00edcil es averiguar de qu\u00e9 circunferencia se trata la que contiene a N, y despu\u00e9s todo consiste en demostrar que la distancia al centro de esa circunferencia siempre mide lo mismo.<\/p>\n
Hay varias formas de abordar esto, pero a m\u00ed me gusta construir cuando es sencillo los problemas usando los vectores que se trabajan en bachillerato, aunque otros preferir\u00e1n trabajar con propiedades geom\u00e9tricas. S\u00f3lo cuando se vuelve muy complejo el uso de vectores y ecuaciones busco aplicar otras reglas.<\/p>\n
El tri\u00e1ngulo ABC est\u00e1 perfectamente determinado excepto en su tama\u00f1o, as\u00ed que lo voy a escalar y situar de forma que la circunferencia est\u00e9 centrada en los ejes de coordenadas y (despu\u00e9s de haber hecho un par de ensayos) me salgan la menor cantidad de fracciones posibles.<\/p>\n
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\nPara construir el tri\u00e1ngulo con el \u00e1ngulo de 120 grados, uso dos equil\u00e1teros unidos.<\/p>\n
Al partir el tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero en dos, aparecen dos tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos. Para que cumpla el Teorema de Pit\u00e1goras, si damos 6 unidades al lado del equil\u00e1tero, uno de los catetos tendr\u00e1 3 y el otro ra\u00edz(27) = 3\u00b7ra\u00edz(3). Situando uno de los v\u00e9rtices del tri\u00e1ngulo en (0, 0), las otras coordenadas ser\u00e1n (3, 3\u00b7ra\u00edz(3)) y las otras (6, 0).
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\nPara que el \u00e1ngulo ACB sea de 120\u00ba, las coordenadas de A ser\u00e1n por lo tanto (3, 3\u00b7ra\u00edz(3)), B ser\u00e1 (3, \u20133\u00b7ra\u00edz(3)) y C ser\u00e1 (6, 0). Se puede comprobar que los tres puntos est\u00e1n sobre la circunferencia x\u00b2 + y\u00b2 = 36, es decir, que la distancia al (0, 0) siempre es 6.<\/p>\n
Si aplicamos producto escalar, se pueden calcular los vectores CA y CB, multiplicarlos escalarmente y dividir por su m\u00f3dulo, y obtendremos el coseno del \u00e1ngulo ACB, comprobando as\u00ed que es \u20131\/2, el que corresponde a 120\u00ba.<\/p>\n
Es evidente que el punto medio entre A (3, 3\u00b7ra\u00edz(3)) y B (3, \u20133\u00b7ra\u00edz(3)), es M (3, 0).<\/p>\n
Ahora, si tomamos un punto cualquiera P de la circunferencia, supondremos que sus coordenadas son (3a, 3b) (de nuevo, tomo variables de forma que sean m\u00faltiplo de 3, para poder dividir m\u00e1s tarde por 3 sin que salgan fracciones, en un primer borrador sal\u00edan fracciones y he tomado esta decisi\u00f3n para simplificar). Debe cumplirse que 9a\u00b2 + 9b\u00b2 = 36 para que pertenezca a la circunferencia, es decir, que a\u00b2 + b\u00b2 = 4. Esto nos permitir\u00e1 saber m\u00e1s adelante d\u00f3nde est\u00e1 N.<\/p>\n
Ahora vamos a calcular Q (en funci\u00f3n de P). Puesto que QP = 2QC, como CQ + QP = CP, tendremos que CP = 3CQ, es decir, que si calculamos el vector CP, que es (3a \u2013 6, 3b), lo multiplicamos por 1\/3, obteniendo (a \u2013 2, b) (para esto quer\u00eda tanto m\u00faltiplo de 3), tendremos CQ. Ahora, C + CQ nos lleva a Q, es decir (6, 0) + (a \u2013 2, b) = Q (a + 4, b).<\/p>\n
Ya casi llegamos, vamos a calcular N. Puesto que AB es vertical, la recta PN es horizontal, es decir, la coordenada segunda (la y) de N es la misma que la de P, es decir, 3b. Para conocer la otra, una de las cosas que podemos hacer es obtener la ecuaci\u00f3n de la recta MQ, y sustituir para encontrar la x, es decir, la coordenada horizontal. El vector MQ ser\u00e1 (a + 1, b), y la ecuaci\u00f3n de la recta tendr\u00e1 entonces coeficientes de x e y, respectivamente, \u2013b y a + 1. Es decir, que uno de los extremos de la ecuaci\u00f3n ser\u00e1 \u2013bx + (a + 1)y, y el otro extremo ser\u00e1 una constante. Como debe contener al punto M (3, 0), la constante debe ser \u20133b, as\u00ed que la ecuaci\u00f3n queda \u2013bx + (a + 1)y = \u20133b. Ahora, sustituimos y por 3b, como hemos dicho, y tendremos \u2013bx + (a + 1)3b = \u20133b, de donde, dividiendo por b, \u2013x + (a + 1)3 = \u20133. Despejamos ahora x, y tenemos que  3 + (a + 1)3 = x, por lo que x = 3a + 6. El punto N, por tanto, ser\u00e1 (3a + 6, 3b).<\/p>\n
Ahora, vamos a ver si es cierto que N est\u00e1 siempre sobre una circunferencia. Nos ha quedado muy sencillo, ya que P (3a, 3b) est\u00e1 sobre una circunferencia, y N es (3a + 6, 3b). Es decir, que N est\u00e1 sobre una circunferencia 6 unidades a la derecha.<\/p>\n
Normalmente, ser\u00eda m\u00e1s complejo, ya que habr\u00eda que ver, sabiendo la ecuaci\u00f3n que cumple P, cu\u00e1l cumple N, despejando y sustituyendo. Y saldr\u00eda lo mismo, una circunferencia 6 unidades m\u00e1s a la derecha. Observa que el centro de la circunferencia original est\u00e1 en el (0, 0), por lo que el centro de la circunferencia de N est\u00e1 en (6, 0), que era nuestro C. Ahora que sabemos esto, podr\u00edamos retomar el problema buscando probar que la distancia de N a C es la misma sea cual sea P, lo que probablemente es m\u00e1s sencillo (aunque lo dif\u00edcil es saber cu\u00e1l es la circunferencia que buscamos).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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