{"id":856,"date":"2018-10-20T16:23:18","date_gmt":"2018-10-20T16:23:18","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=856"},"modified":"2018-11-30T10:35:03","modified_gmt":"2018-11-30T10:35:03","slug":"solucion-a-distancia-en-decagono","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2018\/10\/20\/solucion-a-distancia-en-decagono\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a distancia en dec\u00e1gono"},"content":{"rendered":"
Problema 3 del primer nivel de la Olimpiada de Mayo (2018)\r\nSe dirige a una edad de: 12 a\u00f1os<\/pre>\n
Sea ABCDEFGHIJ un pol\u00edgono regular de 10 lados que tiene todos sus v\u00e9rtices en un pol\u00edgono regular de centro O y radio 5.<\/p>\n
Las diagonales AD y BE se cortan en P, y las diagonales AH y BI se cortan en Q.<\/p>\n
Calcular la medida del segmento PQ.
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nSe trata de un problema complicado de resolver a este nivel, pero muy bonito porque busca relaciones entre \u00e1ngulos y simetr\u00edas.<\/p>\n
El primer problema que encontramos es dibujar, aunque sea a mano alzada, un borrador de la situaci\u00f3n. Un sistema para acabar r\u00e1pido es dibujar un pent\u00e1gono regular, aunque sea de forma aproximada, y dibujar la circunferencia que lo contiene. Dividiendo en dos los arcos entre las figuras, tenemos r\u00e1pido algo parecido a un dec\u00e1gono regular (si la persona que se enfrenta al problema conoce la t\u00e9cnica para dibujar con regla y comp\u00e1s un pent\u00e1gono regular, quedar\u00e1 mucho mejor acabado, claro).<\/p>\n
Una vez que hemos acabado, es sencillo localizar cu\u00e1les son las diagonales que nos interesan.
\nDada la simetr\u00eda de la situaci\u00f3n, r\u00e1pidamente podemos observar que los radios OJ y OC contienen, por simetr\u00eda, los puntos Q y P, respectivamente.
\n\"\"
\nR\u00e1pidamente, al unir estos puntos, observamos que el pol\u00edgono ABPOQ parece un pent\u00e1gono regular.<\/p>\n
Si conseguimos razonar que en efecto lo es, la distancia PQ ser\u00e1 una de las diagonales, y coincidir\u00eda con cualquiera de las otras, en particular con OA y OB, que son ambas radios de la circunferencia.
\n\"\"
\nPor lo tanto, puesto que el radio de la circunferencia mide 5, tendr\u00edamos que la medida de PQ es exactamente 5. \u00bfC\u00f3mo podr\u00edamos justificar que todos los \u00e1ngulos del pol\u00edgono valen lo mismo (la simetr\u00eda de la figura obligar\u00eda a que los lados tambi\u00e9n midiesen lo mismo en ese caso)?<\/p>\n
Una idea sencilla ser\u00eda trabajar con el \u00e1ngulo inscrito, que es doble que el central. Puesto que el \u00e1ngulo desde el que se ve un lado del dec\u00e1gono desde el centro es siempre 36\u00ba, desde el borde de la circunferencia cualquier lado se ve bajo un \u00e1ngulo de 18\u00ba, por lo que el \u00e1ngulo COJ ser\u00eda de 108\u00ba (el triple de un lado), mientras que EBA, igual que HAB miden tambi\u00e9n 108\u00ba, por abarcar seis veces un \u00e1ngulo de un lado. Puesto que los otros dos \u00e1ngulos son iguales, por la suma total tambi\u00e9n deben medir lo mismo (en un pent\u00e1gono los \u00e1ngulos interiores suman 180\u00ba*3 = 540\u00ba), y confirmar\u00edamos el supuesto.<\/p>\n
Pero en este nivel no suelen tener ese conocimiento, as\u00ed que vamos a dar otro enfoque m\u00e1s largo, pero v\u00e1lido tambi\u00e9n.<\/p>\n
Empecemos pensando que, si unimos todos los v\u00e9rtices con el centro de la circunferencia, los tri\u00e1ngulos is\u00f3sceles tendr\u00e1n el \u00e1ngulo menor de la d\u00e9cima parte de 360\u00ba, es decir, 36\u00ba. Y los otros dos, al tener que sumar 180\u00ba con 36\u00ba, deben medir 72\u00ba cada uno. Eso quiere decir que los \u00e1ngulos del borde del dec\u00e1gono regular miden 144\u00ba.<\/p>\n
En todos los cuadril\u00e1teros, los \u00e1ngulos interiores deben sumar 360\u00ba, ya que siempre se pueden dividir en dos tri\u00e1ngulos. En los casos de los trapecios BCDE y AJIH, puesto que tienen dos \u00e1ngulos de 144\u00ba y est\u00e1 claro que son sim\u00e9tricos, los otros dos \u00e1ngulos deben ser iguales, por lo que deben de medir todos 36\u00ba. De esta forma, por ejemplo, sabemos que el \u00e1ngulo CBP debe medir 36\u00ba.<\/p>\n
Por lo tanto, ABE (y tambi\u00e9n BAH) est\u00e1 claro que debe medir 144\u00ba \u2013 36\u00ba = 108\u00ba, que era lo que busc\u00e1bamos.<\/p>\n
Adem\u00e1s, ya que OC es un radio, divide el \u00e1ngulo BCD por la mitad, de forma que el tri\u00e1ngulo BPC tiene \u00e1ngulos 36\u00ba, 72\u00ba, 72\u00ba y es is\u00f3sceles. Por tanto, BPO, que es igual que AQO, debe medir 180\u00ba \u2013 72\u00ba = 108\u00ba tambi\u00e9n.<\/p>\n
Por \u00faltimo, por formar un pent\u00e1gono, el \u00e1ngulo restante tambi\u00e9n debe medir lo mismo, y la simetr\u00eda de la figura nos permite razonar que las medidas de los lados tambi\u00e9n son iguales (por ejemplo, tambi\u00e9n razonar\u00edamos por tri\u00e1ngulos is\u00f3sceles).<\/p>\n
De forma que, en efecto, la medida de PQ debe ser, en efecto, 5.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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