{"id":870,"date":"2018-11-03T18:47:00","date_gmt":"2018-11-03T18:47:00","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=870"},"modified":"2018-11-04T11:51:27","modified_gmt":"2018-11-04T11:51:27","slug":"solucion-a-productos-de-un-conjunto","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2018\/11\/03\/solucion-a-productos-de-un-conjunto\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a productos de un conjunto"},"content":{"rendered":"
Problema 2 de la Olimpiada Matem\u00e1tica Femenina Europea (EGMO 2018)\r\nSe dirige a una edad de: 17 a\u00f1os<\/pre>\n
Considere el conjunto A = {1 + 1\/k \/ k = 1, 2, 3,\u2026}.<\/p>\n
a) Demuestre que todo entero x \u2265 2 puede ser escrito como producto de uno o m\u00e1s elementos de A, no necesariamente distintos.<\/p>\n
b) Para todo entero x \u2265 2, sea f(x) el menor entero tal que x puede ser escrito como f(x) elementos de A, no necesariamente distintos.<\/p>\n
Demuestre que existen infinitos pares (x, y) de enteros, con x \u2265 2, y \u2265 2, tales que f(xy) < f(x) + f(y).<\/p>\n
Nota: los pares (x, y), (z, t) son diferentes si x es diferente de z o y es diferente de t.
\n\"\"Soluci\u00f3n:
\n
\nEn este caso, deberemos trabajar practicando con el conjunto, que estar\u00e1 formado por los n\u00fameros 2, 3\/2, 4\/3, 5\/4, 6\/5, etc. Es sencillo observar que todos los n\u00fameros del conjunto son m\u00e1s peque\u00f1os que el primero, m\u00e1s peque\u00f1os que 2.<\/p>\n
Para resolver el apartado (a), tratamos de conseguir los primeros n\u00fameros, hasta conseguir obtener un patr\u00f3n. Por ejemplo, 2 es un elemento del conjunto, por lo que para x = 2 es evidente. El n\u00famero 3 se puede conseguir como 3\/2\u00b72, y el 4 como 2\u00b72, y el 5 como 5\/4\u00b72\u00b72.<\/p>\n
Formar un n\u00famero gen\u00e9rico x como producto de x\/(x \u2013 1)\u00b7(x \u2013 1)\/(x \u2013 2)\u00b7…\u00b72\/1 es muy sencillo, ya que cada elemento del conjunto tiene como denominador el numerador del anterior, y al multiplicar todos los elementos entre s\u00ed se anular\u00e1n. Pero puede que existan productos de menos factores que produzcan el mismo resultado.<\/p>\n
El apartado (b) es mucho m\u00e1s dif\u00edcil de lograr. Para estudiar un poco los valores y las propiedades de la funci\u00f3n f que se define en este apartado, la estudiaremos en los casos m\u00e1s peque\u00f1os.<\/p>\n
Preparamos una colecci\u00f3n detallada.<\/p>\n
Evidentemente, f(2) = 1, f(3) =2. Tambi\u00e9n f(4) = 2, ya que 4 = 2\u00b72.<\/p>\n
Ver que f(5) = 3 es m\u00e1s complicado, ya que s\u00f3lo 2 tiene f(2) = 1, y necesitas un n\u00famero mayor que 2 para obtener un factor 5 en el numerador en un producto de elementos de A. Y 5 = 5\/4\u00b72\u00b72.<\/p>\n
De nuevo, f(6) = 3 (6 = 3\/2\u00b72\u00b72) y es el resultado mejor.<\/p>\n
A partir de aqu\u00ed, podemos observar que es mejor pensar al contrario, obtener todos los productos enteros de n elementos de A, y as\u00ed obtendremos los enteros x tales que f(x) = n.<\/p>\n
Con un \u00fanico factor s\u00f3lo tenemos el 2 (por eso f(2) = 1).<\/p>\n
Con dos factores, tenemos 3\/2\u00b72 = 3 y 2\u00b72 = 4 (f(3) = 2, f(4) = 2).<\/p>\n
Con tres factores, tenemos  3\/2\u00b72\u00b72 = 6, 2\u00b72\u00b72 = 8, 4\/3\u00b73\/2\u00b72 = 4 (ya estaba), y 5\/4\u00b72\u00b72 = 5, luego f(6) = f(8) = f(5) = 3.<\/p>\n
Con cuatro factores (eliminando los ya obtenidos), tenemos 7 = 7\/6\u00b73\/2\u00b72\u00b72, 12 = 3\/2\u00b72\u00b72\u00b72, 9 = 9\/8\u00b72\u00b72\u00b72, 16 = 2\u00b72\u00b72\u00b72 y 10 = 5\/4\u00b72\u00b72\u00b72, luego f(7) = f(12) = f(9) = f(16) = f(10) = 4.<\/p>\n
Claro, que cada paso obtenemos los siguientes de los que ya ten\u00edamos (usando la fracci\u00f3n correspondiente de A), y los posibles productos de dos cuyas f sumen el n\u00famero adecuado, siempre que no los hubi\u00e9semos obtenido antes. As\u00ed, sumando 1 (usando una fracci\u00f3n de A), obtenemos que 5 = f(11) = f(13) = f(17). Multiplicando uno de aquellos en los que f vale 4 con 2, que es el \u00fanico en el que f vale 1, 5 = f(14) = f(18) = f(20) = f(24) = f(32), mientras que 5 = f(15), ya que es producto de 3 (f(3) = 2) por 5 (f(5) = 3).
\n\"\"
\nTened paciencia para obtener los n\u00fameros. Por ejemplo, 17 = 17\/16\u00b72\u00b72\u00b72\u00b72, y 15 = 5\/4\u00b73\/2\u00b72\u00b72\u00b72, mientras que 13 = 13\/12\u00b73\/2\u00b72\u00b72\u00b72.<\/p>\n
Hemos encontrado un patr\u00f3n, aunque puede que no est\u00e9 muy claro.<\/p>\n
Factorizando, encontramos que a\u00fan se cumple que f(xy) = f(x) + f(y) para todos los valores que tenemos hasta ahora, necesitamos subir a un valor algo mayor para que esto cambie, como nos proponen que pase.<\/p>\n
Entre los elementos que dan un valor 6 para f, tenemos a 19, 21, 25 y 33, a trav\u00e9s de fracciones del conjunto multiplicadas por elementos de valor 5, 22, 26, 28, 34, 40, 48 y 64, multiplicando 2 por elementos de valor 5, y 30 y 27, que se pueden obtener multiplicando 3 por elementos de valor 4. Todos ellos, puesto que no se han podido conseguir con menos productos, tienen un valor f de 6.<\/p>\n
Aqu\u00ed encontramos una pareja de n\u00fameros que cumplen lo que nos piden. f(3\u00b711) = f(33) = 6 < f(x) + f(y) = 2 + 5, seg\u00fan hemos razonado. Ya tenemos uno de los valores que cumple que f(xy) < f(x) + f(y).<\/p>\n
Veamos el razonamiento general. Tomemos un n\u00famero p cualquiera. Supongamos que las tres igualdades siguientes son ciertas: f(p\u00b733) = f(p) + f(33), f(p\u00b733) = f(3) + f(p\u00b711) y f(p\u00b711) = f(11) + f(p). Entonces f(p\u00b733) = f(3) + f(11\u00b7p) = f(3) + f(11) + f(p), que sabemos que es menor que f(33) + f(p) = f(p\u00b733). Luego llegamos a una contradicci\u00f3n, por lo que una de las igualdades anteriores no es cierta, y por lo tanto se da que, o bien f(p\u00b733) < f(p) + f(33), o bien f(p\u00b733) < f(3) + f(p\u00b711), o bien f(p\u00b711) < f(11) + f(p).<\/p>\n
Utilizando valores sucesivos de p que proporcionen n\u00fameros cada vez mayores, podemos lograr infinitas desigualdades como la solicitada. Dicho de otro modo, si el conjunto de valores en los que se cumple la desigualdad fuera finito, habr\u00eda un valor p que ser\u00eda cota superior del conjunto de los productos, y usando ese n\u00famero, obtendr\u00edamos uno de los valores anteriores, que todos ellos estar\u00edan por encima del valor p (tanto 33p, como 11p).<\/p>\n
Otra forma de abordar el problema es buscar familias de elementos concretas que sea relativamente sencillo probar que no cumplen la igualdad. Las soluciones oficiales juegan con n\u00fameros de la forma 5 y (2^(4k + 2) + 1)\/5, pero tambi\u00e9n es muy farragoso probar que efectivamente se cumple la desigualdad, aunque es sabido que infinitas potencias de 2 acaban en 4, y sum\u00e1ndole 1, por tanto, ser\u00edan divisibles entre 5. Otro camino por el que encontrar n\u00fameros concretos propuesto puede ser usar 2^k + 1 y 4^k \u2013 2^k + 1, pero tampoco veo sencillo encontrar esta situaci\u00f3n clara.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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