Ana debe escribir 7 enteros positivos, no necesariamente distintos, alrededor de una circunferencia de manera que se cumplan las siguientes condiciones:<\/p>\n
La suma de los siete n\u00fameros es igual a 36.<\/p>\n
Si dos n\u00fameros son vecinos la diferencia entre el mayor y el menor es igual a 2 o 3.<\/p>\n
Hallar el m\u00e1ximo valor del mayor de los n\u00fameros que puede escribir Ana.
\n![\"\"](\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2018\/11\/66.Sietenumerosenteros.png\")
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nEs un problema que pone a prueba la paciencia de los participantes en esta prueba, ya que necesita un estudio bastante largo para buscar soluciones, y no es f\u00e1cil usar atajos (como el \u00e1lgebra) para acelerar el proceso.<\/p>\n
Al principio, opt\u00e9 por el tanteo pero luego, pensando en las diferencias, llegu\u00e9 a la conclusi\u00f3n de que, mirando en uno de los sentidos, puesto que ten\u00eda que dar la vuelta completa a la circunferencia, las diferencias deb\u00edan anularse (es decir, las positivas y las negativas).<\/p>\n
Como adem\u00e1s son una cantidad impar de n\u00fameros, no pueden ser todas las diferencias iguales.<\/p>\n
Como hacen falta dos treses para compensar tres doses, las diferencias deben ser, por ejemplo, 2, 2, 2, -3, -3, y dos sumandos m\u00e1s que se compensen (dos doses o dos treses, de signos opuestos). Adem\u00e1s, podemos pensar que empezamos por el n\u00famero m\u00e1s bajo, y por tanto el total de las diferencias nunca puede ser negativo.<\/p>\n
El n\u00famero menor lo empec\u00e9 fijando a 1, porque si aumentamos ese manteniendo las diferencias, ser\u00eda como aumentar todos uno, con lo que la suma alcanzar\u00eda siete unidades m\u00e1s.<\/p>\n
Por ejemplo, si utilizo la secuencia +2, +2, +2, -3, +2, -2, -3, me lleva a la secuencia de n\u00fameros 1, 3, 5, 7, 4, 6, 4, que suma 30. Pero si empiezo desde 2, tengo 2, 4, 6, 8, 5, 7, 5, que suma 37.<\/p>\n
Cambiar la secuencia a +2, +2, +2, +2, -3, -2, -3, lleva a 1, 3, 5, 7, 9, 6, 4, que suma 35.<\/p>\n
Es dif\u00edcil encontrar una combinaci\u00f3n que sume 36, por ejemplo, +2, +2, +2, +2, -2, -3, -3, lleva a 1, 3, 5, 7, 9, 7, 4, que suma 36. Y el valor mayor es, en este caso, 9.<\/p>\n
La secuencia +3, +3, +3, -3, -2, -2, -2, lleva a 1, 4, 7, 10, 7, 5, 3, que suma 37.<\/p>\n
Otra combinaci\u00f3n interesante es la secuencia +3, -2, +3, +3, -2, -3, -2, que lleva a 1, 4, 2, 5, 8, 6, 3, que suma 29. Y por tanto, 2, 5, 3, 6, 9, 7, 4 suma 36. Y tambi\u00e9n tiene 9 como n\u00famero mayor.<\/p>\n
La secuencia +3, -2, +3, -3, +3, -2, -2, lleva a 1, 4, 2, 5, 2, 5, 3, que suma 22. Si aumentamos 2 el de partida, llegamos a 3, 6, 4, 7, 4, 7, 5, que suma 36 y en esta ocasi\u00f3n el mayor es 7.<\/p>\n
Hemos encontrado dos combinaciones que suman 36, y tienen por n\u00famero mayor 9. \u00bfSer\u00e1 \u00e9sta la respuesta correcta? Tengamos en cuenta que la \u00fanica secuencia que hemos obtenido que tiene un 10 suma 37, y por tanto no es v\u00e1lida, aunque est\u00e1 muy pr\u00f3xima.<\/p>\n
Es dif\u00edcil, aunque posible, agotar todas las combinaciones y explorar todas las posibilidades.<\/p>\n
Vamos a ir por un camino algo m\u00e1s retorcido, pero m\u00e1s corto. Supongamos que el n\u00famero mayor es mayor o igual que 10. Los n\u00fameros adyacentes deben ser al menos 7, si uno de ellos fuese 8, entre los tres sumar\u00edan al menos 25, y los dos junto a ellos deber\u00edan ser al menos 4 y 5, y ya sumar\u00edan al menos 34. Los dem\u00e1s no pueden ser dos unos, pues su diferencia estar\u00eda por debajo del m\u00ednimo. Luego el mayor valor posible es 10 y los dos adyacentes ser\u00e1n 7, y por eso los dos que hay junto a ellos deber\u00edan ser 4 o 5. Si ambos fuesen 5, los dos que faltan deber\u00edan ser 1, lo cual es imposible, si uno de ellos es 4 y el otro 5, los que sobran deben sumar 3, es decir que uno de ellos debe ser 1 y el otro 2, y no pueden guardar la distancia de 2, y si ambos son 4, la suma de los dos que cierran el c\u00edrculo deber\u00eda ser 4, que nos deja como \u00fanica posibilidad que ambos fuesen 2, lo que tampoco da la distancia adecuada.<\/p>\n
Por lo tanto, seg\u00fan hemos visto, el mayor valor posible es 9.<\/p>\n
No me qued\u00e9 satisfecho con la resoluci\u00f3n, as\u00ed que inici\u00e9 una hoja en la que puse todas las combinaciones posibles de diferencias, a qu\u00e9 n\u00fameros llevan, y la suma m\u00e1s pr\u00f3xima a 36 (por debajo), de forma que descubr\u00ed que hay 39 posibles grupos de diferencias, de los cuales 4 dan lugar a valores repetidos (porque tienen dos posiciones m\u00ednimas, y unas empiezan en uno y otras en otro). De esos 35 valores diferentes, s\u00f3lo 5 pueden llegar a sumar 36, y son los siguientes:<\/p>\n
3 5 7 4 7 4 6 36
\n2 4 7 4 6 8 5 36
\n2 4 7 9 6 3 5 36
\n2 4 6 8 5 7 4 36
\n1 3 5 7 9 7 4 36<\/p>\n
La tabla completa, la dejo a continuaci\u00f3n. Los primeros siete n\u00fameros son las diferencias, tratando de situar primero las menores, pero sin bajar nunca del m\u00ednimo. A continuaci\u00f3n, a qu\u00e9 n\u00fameros llevan si empezamos con el 1, lo que suma, y la suma m\u00e1s pr\u00f3xima a 36 por debajo que podr\u00edamos lograr si empez\u00e1ramos con otro entero.<\/p>\n