{"id":945,"date":"2018-12-29T12:15:50","date_gmt":"2018-12-29T12:15:50","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=945"},"modified":"2018-12-30T18:05:45","modified_gmt":"2018-12-30T18:05:45","slug":"solucion-a-dos-naranjas-en-un-bol","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2018\/12\/29\/solucion-a-dos-naranjas-en-un-bol\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a dos naranjas en un bol"},"content":{"rendered":"
Problema 1 del nivel B fase auton\u00f3mica de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2018\r\nSe dirige a una edad de: 13-14 a\u00f1os<\/pre>\n
Tenemos dos naranjas de 5 cent\u00edmetros de radio.<\/p>\n
\u00bfCu\u00e1l es la altura m\u00ednima que debe tener un bol semiesf\u00e9rico para que podamos poner dentro las dos naranjas sin que sobresalgan?<\/p>\n
Si tenemos un bol del tama\u00f1o indicado en el apartado anterior, \u00bfa qu\u00e9 altura respecto al fondo del bol quedan los puntos en los que las naranjas tocan el bol?
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:<\/p>\n
Para este tipo de problemas, en los que aparecen varias tangencias y c\u00edrculos, debemos trazar los radios de las circunferencias que sean importantes en el contexto del dibujo.
\n\"\"
\nDada la simetr\u00eda, tendremos que desde el centro del borde del bol, la perpendicular separa a las dos naranjas, por lo que el radio que pasa por el centro de las naranjas toca en el punto de tangencia.<\/p>\n
Por lo tanto, desde el centro hasta el punto donde la naranja toca al bol, hay cinco cent\u00edmetros, y el resto del segmento que forma el radio del bol es la hipotenusa de un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo cuyos catetos miden ambos 5, por lo que, aplicando el Teorema de Pit\u00e1goras, ese segmento mide 5\u00b7ra\u00edz(2), aproximadamente 7,071.<\/p>\n
El radio del bol, por tanto, que coincide con la altura del mismo, medir\u00e1 5 + 5ra\u00edz(2), es decir, aproximadamente 12,071.<\/p>\n
En cuanto al punto donde las naranjas tocan al bol, podemos encontrar un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo en el que est\u00e9 metido, para calcular su altura.
\n\"\"Por ejemplo, uniendo los dos puntos donde ambas naranjas tocan el bol, tendremos un tri\u00e1ngulo is\u00f3sceles, semejante al tri\u00e1ngulo que se forma desde el centro del semic\u00edrculo que forma el bol y los dos centros de las naranjas.<\/p>\n
De este triangulo is\u00f3sceles, tenemos una medida, su lado repetido, que medir\u00e1 5 + 5ra\u00edz(2), es decir, 12,071. Y del tri\u00e1ngulo semejante, tenemos tambi\u00e9n la medida equivalente (que medir\u00eda 5ra\u00edz(2), y la altura, que medir\u00eda 5.<\/p>\n
Por lo tanto, podemos calcular el factor de escala, que ser\u00eda (5 + 5ra\u00edz(2))\/5ra\u00edz(2), y multiplicarlo por la altura (5), para obtener la altura del tri\u00e1ngulo que nos interesa. Manipular esta expresi\u00f3n es algo complicado, los alumnos m\u00e1s avanzados sabr\u00e1n que 5(5 + 5ra\u00edz(2))\/5ra\u00edz(2) = (5 + 5ra\u00edz(2))\/ra\u00edz(2) = ra\u00edz(2)(5 + 5ra\u00edz(2))\/2 = (5ra\u00edz(2) + 10)\/2 = 5ra\u00edz(2)\/2 + 5. Pero aunque no sea as\u00ed, seguro que podemos calcular su valor aproximado con la calculadora, 8,536.<\/p>\n
Y por lo tanto la altura desde el fondo del bol ser\u00eda 5 + 5ra\u00edz(2) – ( 5ra\u00edz(2)\/2 + 5) = 5ra\u00edz(2) \u2013 5ra\u00edz(2)\/2 = 5ra\u00edz(2)\/2, o en su versi\u00f3n aproximada, 3,536.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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