\u00abSobre el equilibrio de los planos<\/strong><\/span>\u00ab<\/em> en esta obra Arqu\u00edmedes desarrollo la llamada Ley de la Palanca, en varfiuos postulados(teor\u00eda) y proposiciones (pr\u00e1ctica): Postulado 2: Si, cuando los pesos ubicados a ciertas distancias est\u00e1n en equilibrio, se agrega algo a uno de los pesos ya no estar\u00e1n en equilibrio, sino que desciende el lado donde se ha agregado peso.<\/p>\n Postulado 3: An\u00e1logamente, si algo se quita de uno de los pesos, ya no permanecer\u00e1n en equilibrio y desciende el peso del que no se ha quitado nada.<\/p>\n En los postulados 2 y 3, se considera de manera impl\u00edcita que todo es pesado y que la ligereza de un cuerpo no es otra cosa que la cualidad de ser menos pesado que otro cuerpo. Por otra parte, estos postulados resultan evidentes si nos imaginamos en la situaci\u00f3n de estar realizando pesadas en una balanza de platillos de brazos iguales.<\/p>\n Postulado 4: Cuando figuras semejantes son iguales y se superponen una con la otra, sus centros de gravedad coinciden.<\/p>\n Postulado 5: En figuras semejantes que son desiguales, los centros de gravedad estar\u00e1n similarmente situados. Por puntos an\u00e1logos ubicados con relaci\u00f3n a figuras semejantes, quiero decir puntos tales que si se trazan l\u00edneas rectas desde ellos con \u00e1ngulos iguales, dichas l\u00edneas forman \u00e1ngulos iguales con los correspondientes lados de las figuras.<\/p>\n Este postulado establece que figuras semejantes, es decir de la misma \u00abforma\u00bb, pero desiguales, es decir de diferente tama\u00f1o, tendr\u00e1n sus centros de gravedad en la misma posici\u00f3n \u00abrelativa\u00bb.<\/p>\n Postulado 6: Si magnitudes a ciertas distancias est\u00e1n en equilibrio, otras magnitudes iguales a ellas tambi\u00e9n estar\u00e1n en equilibrio a las mismas distancias.<\/p>\n En este postulado, se plantea que a los efectos del equilibrio s\u00f3lo son relevantes la magnitud y la distancia, con independencia de la forma o la sustancia. Es fundamental para la deducci\u00f3n de la ley de la palanca. Cuando Arqu\u00edmedes dice \u00abmagnitudes iguales a otras magnitudes\u00bb, quiere decir \u00abmagnitudes del mismo peso\u00bb. Y cuando dice \u00abmagnitudes a ciertas distancias\u00bb quiere decir \u00ablos centros de gravedad de las magnitudes est\u00e1n a la misma distancia del fulcro\u00bb (Assis, 2008, p. 179).<\/p>\n Postulado 7: En cualquier figura cuyo per\u00edmetro es c\u00f3ncavo en una y la misma direcci\u00f3n, el centro de gravedad debe estar dentro de la figura.<\/p>\n Con estos postulados, Arqu\u00edmedes ha convertido un \u00e1mbito f\u00edsico en una cuesti\u00f3n geom\u00e9trica y, en el libro I deSobre el equilibrio de los planos,<\/em> procede a demostrar rigurosamente siete proposiciones sobre el equilibrio.<\/p>\n Proposici\u00f3n 1: Pesos que se equilibran a iguales distancias son iguales.<\/p>\n Enuncia la inversa de la primera parte del Postulado 1, que se puede demostrar por el absurdo utilizando el Postulado 3. De acuerdo al Postulado 1 y a la Proposici\u00f3n 1, la igualdad de pesos y distancias es condici\u00f3n necesaria y suficiente del equilibrio.<\/p>\n Proposici\u00f3n 2: Pesos desiguales a distancias iguales no se equilibrar\u00e1n sino que se inclinar\u00e1n hacia el lado del peso mayor.<\/p>\n Proposici\u00f3n 3: Pesos desiguales se equilibran a distancias desiguales, el peso m\u00e1s grande estar\u00e1 a menor distancia que el peso m\u00e1s peque\u00f1o.<\/p>\n Proposici\u00f3n 4: Si dos pesos iguales no tienen el mismo centro de gravedad, el centro de gravedad de ambos tomados conjuntamente est\u00e1 en el punto medio de la l\u00ednea que une sus centros de gravedad.<\/p>\n Proposici\u00f3n 5: Si tres magnitudes iguales tienen sus centros de gravedad sobre una l\u00ednea recta a distancias iguales, el centro de gravedad del sistema coincidir\u00e1 con el centro de gravedad de la magnitud ubicada en el punto medio.<\/p>\n Corolario 1: Lo mismo es verdad para cualquier n\u00famero impar de magnitudes, si aquellas que est\u00e1n a iguales distancias del punto medio son iguales, mientras la distancia entres sus centros de gravedad sean iguales.<\/p>\n Corolario 2: Si hay un n\u00famero par de magnitudes con sus centros de gravedad situados a iguales distancias sobre una l\u00ednea recta y si las dos del medio son iguales, mientras que aquellas que equidistan entre si (a cada lado) son iguales respectivamente, el centro de gravedad del sistema es el punto medio de la l\u00ednea que une los centros de gravedad de los dos del medio.<\/p>\n Con esta base\u00a0Arqu\u00edmedes usa los principios derivados para calcular las \u00e1reas y los\u00a0centros de gravedad de varias figuras geom\u00e9tricas, incluyendo\u00a0tri\u00e1ngulos,paralelogramos y\u00a0par\u00e1bolas.<\/p>\n \u00abSobre la medida de un c\u00edrculo<\/strong><\/span>\u00bb <\/em>Arqu\u00edmedes, trazo las medidas del circulo, en unas cartas enviadas a Dositeo, cient\u00edfico de Alejandr\u00eda. Arqu\u00edmedes demostr\u00f3 que el lado del\u00a0hex\u00e1gono regular inscrito en un c\u00edrculo es igual al\u00a0radio de dicho c\u00edrculo; as\u00ed como que el lado del cuadrado circunscrito a un c\u00edrculo es igual al di\u00e1metro de dicho c\u00edrculo. De la primera proposici\u00f3n dedujo que el per\u00edmetro del hex\u00e1gono inscrito era 3 veces el di\u00e1metro de la circunferencia, mientras que de la segunda dedujo que el per\u00edmetro del cuadrado circunscrito era 4 veces el di\u00e1metro de la circunferencia.<\/p>\n Afirm\u00f3 adem\u00e1s que toda l\u00ednea cerrada envuelta por otra es de menor longitud que \u00e9sta, por lo que la circunferencia deb\u00eda ser mayor que tres di\u00e1metros pero menor que cuatro. Por medio de sucesivas inscripciones y circunscripciones de pol\u00edgonos regulares lleg\u00f3 a determinar el valor aproximado de \u03c0 como:<\/p>\n Con los rudimentarios medios de los que dispon\u00eda el sabio griego, el error absoluto que cometi\u00f3 en el c\u00e1lculo de\u00a0p<\/span><\/strong> result\u00f3 ser inferior a una mil\u00e9sima (0,0040\u00a0%).<\/p>\n cuadratura del circulo arquimedes<\/p><\/div>\n \u00abSobre las espirales<\/span>\u00bb <\/strong><\/em>La e<\/span>spiral de Arqu\u00edmedes (tambi\u00e9n\u00a0espiral aritm\u00e9tica) obtuvo su nombre del matem\u00e1tico siciliano\u00a0Arqu\u00edmedes, quien vivi\u00f3 en el siglo III antes de Cristo. Se define como el\u00a0lugar geom\u00e9trico de un punto movi\u00e9ndose a\u00a0velocidad constante sobre una\u00a0recta que gira sobre un punto de origen fijo a\u00a0Velocidad Angular constante.<\/p>\n En\u00a0coordenadas polares (r, \u03b8) la espiral de Arqu\u00edmedes puede ser descrita por la ecuaci\u00f3n siguiente:<\/p>\n siendo\u00a0a<\/em> y\u00a0b<\/em> n\u00fameros reales. Cuando el par\u00e1metro\u00a0a<\/em> cambia, la espiral gira, mientras que\u00a0b<\/em> controla la distancia en giros sucesivos.<\/p>\n Arqu\u00edmedes describi\u00f3 esta espiral en su libro\u00a0De las Espirales<\/em>.<\/p>\n Esta curva se distingue de la\u00a0espiral logar\u00edtmica por el hecho de que vueltas sucesivas de la misma tienen distancias de separaci\u00f3n constantes (iguales a\u00a02\u03c0b<\/em> si \u03b8 es medido en radianes), mientras que en una espiral logar\u00edtmica la separaci\u00f3n est\u00e1 dada por una\u00a0progresi\u00f3n geom\u00e9trica. Espiral de Arqu\u00edmedes<\/p><\/div>\n Otro ejemplo de espiral de Arqu\u00edmedes<\/p><\/div>\n \u00abSobre la esfera y el cilindro<\/strong>\u00bb <\/span><\/em>Se sab\u00eda calcular, al menos desde la \u00e9poca de los egipcios, el volumen de prismas y cilindros. Dem\u00f3crito (~460 a.C. – 360 a.C.) demostr\u00f3 que el volumen de una pir\u00e1mide es igual a la tercera parte del de un prisma de igual base y altura, e igual hizo con el cono respecto del cilindro. Euclides hab\u00eda demostrado en sus \u00abElementos\u00bb que el volumen de dos esferas es entre s\u00ed como los cubos de sus di\u00e1metros, o como dir\u00edamos actualmente, que el volumen de una esfera es proporcional a su di\u00e1metro. Arqu\u00edmedes demostr\u00f3, una vez m\u00e1s, que esa constante de proporcionalidad estaba muy relacionada con\u00a0 pi. Una de los resultados m\u00e1s notables del libro es la<\/p>\n PROPOSICI\u00d3N 33.- La superficie de cualquier esfera es cuatro veces la de su c\u00edrculo m\u00e1ximo.<\/em> Quedaba sin embargo por demostrar otro de los resultados m\u00e1s importantes del libro,\u00a0 la<\/p>\n PROPOSICI\u00d3N 34.- Cualquier esfera es igual a cuatro veces el cono que tiene su base igual al c\u00edrculo m\u00e1ximo de la esfera, y su altura igual al radio de la esfera<\/em>. <\/span><\/p>\n semiesfera<\/p><\/div>\n <\/p>\n Si el corte lo hacemos a una distancia d del punto m\u00e1s alto de la figura, entonces el radio del circulo que aparece en la esfera es la ra\u00edz de R2-d2. El radio del circulo que aparece en el cono es d. En el cilindro el radio es R.\u00a0Por tanto, pi*(R2-d2)+pi*d2=pi*R2.Lo que hoy conocemos como principio de Cavalieri implica que el volumen de media esfera m\u00e1s el volumen del cono es igual al volumen del cilindro. Como el volumen de este cilindro es pi*r3\u00a0y el del cono pi*r3\/3, entonces tenemos que el volumen de la esfera completa es 4\/3*pi*r3,<\/p>\n Como corolario de estos resultados obtiene que la relaci\u00f3n entre una esfera y el cilindro que la contiene es 2:3, tanto en superficie como en volumen.<\/p>\n \u00abSobre los conoides y esferoides<\/strong><\/span>\u00bb <\/em>Arqu\u00edmedes examina paraboloides de revoluci\u00f3n, hiperboloides de revoluci\u00f3n, y esferoides obtenidos al rotar una elipse, ya sea, alrededor de su eje mayor, o de su eje menor.\u00a0 El principal prop\u00f3sito de la obra es investigar el volumen de segmentos de estas figuras tridimensionales. \u00abSobre los cuerpos flotantes<\/strong><\/span>\u00bb <\/em>en el cual estudia cient\u00edficamente el equilibrio de los cuerpos sumergidos y enuncia el que conocemos hoy com\u00a0principio de Arqu\u00edmedes, y que ya explicamos ayer, la anecdota o leyenda, que dice que lo descubrio en el ba\u00f1o, el principio dice as\u00ed \u00ab<\/em><\/strong>Sobre todo cuerpo sumergido en un l\u00edquido act\u00faa una fuerza hacia arriba\u00a0(empuje)<\/span> cuyo valor es igual al peso del l\u00edquido que ha desalojado\u00bb<\/var><\/p>\n Ejemplo del principio de Arquimedes<\/p><\/div>\n \u00abLa cuadratura de la par\u00e1bola<\/strong><\/span>\u00bb <\/em>demuestra que: \u00abUna secci\u00f3n de par\u00e1bola excede en un tercio al \u00e1rea del tri\u00e1ngulo de igual base que la secci\u00f3n y cuyo v\u00e9rtice es el de la par\u00e1bola\u00bb. Dicho de otra forma, la superficie de la secci\u00f3n de par\u00e1bola es igual a cuatro tercios de la superficie del tri\u00e1ngulo inscrito. A partir de este resultado la cuadratura es obvia.<\/p>\n Partes de una parabola<\/p><\/div>\n \u00ab<\/strong>Ostomachion<\/span>\u00bb <\/strong><\/em>En esta obra, cuyo tratado m\u00e1s completo que lo describe se encontr\u00f3 dentro del\u00a0Palimpsesto de Arqu\u00edmedes, Arqu\u00edmedes presenta un rompecabezas de disecci\u00f3n similar a un\u00a0Tangram. Arqu\u00edmedes calcula las \u00e1reas de 14 piezas que pueden ser ensambladas para formar un\u00a0cuadrado. Una investigaci\u00f3n publicada en 2003 por el Doctor Dr. Reviel Netz de la\u00a0Universidad de Stanfordargumentaba que Arqu\u00edmedes estaba intentando determinar en cu\u00e1ntas formas se pod\u00eda ensamblar las piezas para formar un cuadrado. Seg\u00fan Netz, las piezas pueden formar un cuadrado de 17.152 maneras distintas.\u00a0El n\u00famero de disposiciones se reduce a 536 cuando se excluyen las soluciones que son equivalentes por rotaci\u00f3n y reflexi\u00f3n. Este puzle representa un ejemplo temprano de un problema de\u00a0combinatoria.<\/p>\n El origen del nombre del puzzle es incierto; se ha sugerido que puede haber surgido de la palabra\u00a0griega para garganta,\u00a0st\u00f3makhos(\u03c3\u03c4\u03cc\u03bc\u03b1\u03c7\u03bf\u03c2).\u00a0Ausonio se refiere al puzzle como\u00a0Ostomachion, una palabra griega compuesta por las ra\u00edces \u1f40\u03c3\u03c4\u03ad\u03bf\u03bd (osteon, \u2018hueso\u2019) y \u03bc\u03ac\u03c7\u03b7 (mach\u0113, \u2018lucha\u2019). El puzzle es tambi\u00e9n conocido como el Loculus de Arqu\u00edmedes o como la Caja de Arqu\u00edmedes<\/p>\n Ostomachion<\/p><\/div>\n \u00abEl contador de arena<\/strong><\/span>\u00bb <\/em>En este tratado, Arqu\u00edmedes cuenta el n\u00famero de granos de arena que entrar\u00edan en el universo. Este libro menciona la teor\u00eda\u00a0helioc\u00e9ntrica del\u00a0Sistema solar propuesta por\u00a0Aristarco de Samos, e ideas contempor\u00e1neas acerca del tama\u00f1o de la Tierra y las distancias de varios cuerpos celestes. Usando un sistema de n\u00fameros basado en la capacidad de la\u00a0mir\u00edada, Arqu\u00edmedes concluye que el n\u00famero de granos de arena que se requerir\u00edan para llenar el universo ser\u00eda de 8\u00d71063<\/sup>, en notaci\u00f3n moderna.<\/p>\n Para concluir con esta entrada, se\u00f1alar dos curiosidades, como son \u00abEl m\u00e9todo de teoremas mec\u00e1nicos\u00bb <\/em>carta dirigida a\u00a0Erat\u00f3steles, y que se perdio en el olvido hasta el a\u00f1o\u00a01907, cuando el matem\u00e1tico Heiberg, luego de copiar y examinar el escrito original junto con otros textos de Arqu\u00edmedes que hall\u00f3 en la Biblioteca del Monasterio del Santo Sepulcro en Jerusalem, ubicada en Constantinopla, anuncia su descubrimento, este teorema consist\u00eda en\u00a0Arqu\u00edmedes emplea el c\u00e1lculo\u00a0infinitesimal, y muestra c\u00f3mo el m\u00e9todo de fraccionar una figura en un n\u00famero infinito de partes infinitamente peque\u00f1as puede ser usado para calcular su \u00e1rea o volumen. Arqu\u00edmedes pudo haber considerado que este m\u00e9todo carec\u00eda del suficiente rigor formal, por lo que utiliz\u00f3 tambi\u00e9n el\u00a0m\u00e9todo de exhausci\u00f3n para llegar a los resultados. Recordemos que el m\u00e9todo de\u00a0exhausci\u00f3n consiste en\u00a0Este m\u00e9todo consiste en considerar determinada magnitud de una figura, como el l\u00edmite de las magnitudes correspondientes de figuras inscritas y circunscritas en ella, las cuales aproximan arbitrariamente la figura original.<\/p>\n Adem\u00e1s Arqu\u00edmedes como otros matem\u00e1ticos planteo varios problemas matem\u00e1ticos entre ellos el m\u00e1s famoso es el de \u00abEl problema del ganado de Arqu\u00edmedes<\/strong><\/span>\u00bb que dice as\u00ed \u00abSi eres diligente y sabio, oh, extranjero, calcula el n\u00famero de cabezas de ganado del Sol\u00bb <\/em><\/em>tras varios estudios, de cuantas reses pod\u00eda tener el dios Sol, \u00a0esta versi\u00f3n del problema fue resuelta por primera vez por A. Amthor en 1880\u00a0y la respuesta es un n\u00famero muy grande, aproximadamente 7,760271\u00d710206544<\/sup>.<\/p>\n Hasta\u00a0aqu\u00ed, la vida de los grandes matem\u00e1ticos de la edad antigua, que influyeron en el renacimiento italiano, y en concreto en Galileo Galilei<\/p>\n <\/span><\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" En el anterior post, pudimos ver un breve resumen de la vida de Arquimedes de Siracusa, as\u00ed como sus descubrimientos y anecdotas m\u00e1s importantes y de mayor relevancia. Hoy nos centraremos en sus contribuciones al \u00e1mbito de las matem\u00e1ticas, especialmente … Continue reading
\nPostulado 1: Pesos iguales a distancias iguales est\u00e1n en equilibrio y pesos iguales a distancias desiguales no est\u00e1n en equilibrio sino que se inclina (la palanca) hacia el peso que est\u00e1 a mayor distancia.
\nSe sobreentiende que las distancias se miden desde el fulcro o punto de apoyo de la palanca.<\/p>\n
\nEn el Teorema I de esa obra, Arqu\u00edmedes nos ofrece una bella \u00abcuadratura\u00bb del c\u00edrculo con su m\u00e9todo de exhauci\u00f3n; y en el Teorema III obtiene la famos\u00edsima aproximaci\u00f3n del n\u00famero \u03c0 (\u00a1la relaci\u00f3n entre la longitud de una circunferencia y su di\u00e1metro!), la fracci\u00f3n 22\/17. La enorme influencia que la obra arquimediana ejerci\u00f3 sobre la comunidad cient\u00edfica a lo largo de la Edad Media \u00e1rabe y latina, as\u00ed como en el Renacimiento italiano, tuvo en laMedida del c\u00edrculo<\/em> el representante m\u00e1s eficaz e inici\u00e1tico, tanto por la fascinaci\u00f3n de lo circular, como por la sencillez de los enunciados de sus teoremas y el magistral desarrollo de sus demostraciones.<\/p>\n\n
![\"](\"http:\/\/enciclopedia.us.es\/images\/math\/7\/0\/9\/709e6a4706582186852eec9b7e39c0b5.png\")
<\/dd>\n<\/dl>\n![\"\"](\"https:\/\/blogs.ua.es\/galileogalileo\/files\/2011\/06\/cuadratura-del-circulo-arquimedes.png\")
<\/a>\n
<\/dd>\n<\/dl>\n
\nLa espiral normal ocurre cuando x = 1.<\/p>\n<\/a><\/a>
\nLa demostraci\u00f3n vuelve a ser una doble reducci\u00f3n al absurdo, suponiendo primero que la superficie de la esfera es mayor que cuatro veces la del circulo y suponiendo luego que es menor, llegando en ambos casos a una contradicci\u00f3n. La t\u00e9cnica empleada es el m\u00e9todo de exhauci\u00f3n de Eudoxo; es decir, inscribiendo y circunscribiendo cuerpos geom\u00e9tricos, como conos y troncos de cono (cuyas superficies hab\u00eda demostrado previamente), y aproxim\u00e1ndose desde dentro y desde fuera a la superficie de la esfera. Qued\u00f3 establecido por lo tanto que S=4*pi*r2.<\/p>\n
\nLa demostraci\u00f3n la hace bas\u00e1ndose en los vol\u00famenes del cono y del cilindro que hab\u00eda hallado previamente. Partiendo de una esfera cualquiera, considera un cilindro cuyo radio de la base es igual al radio de la esfera y su altura igual al radio, y un cono con base igual a la del cilindro y altura igual al radio de la esfera. Haciendo un corte horizontal en los tres cuerpos a una altura inferior al radio, demuestra que la superficie de la secci\u00f3n correspondiente al cilindro es igual a la suma de las superficies de las secciones correspondientes al cono y a la esfera. <\/span><\/p>\n<\/a>
\n<\/em><\/p>\n<\/a><\/a><\/a>