Ecuación del círculo

Recordad que la ecuación de la circunferencia de centro P = (a, b) y radio R es

Proporcionamos la ecuación de la circunferencia de centro (a, b) y radio R: (x-a)²+(y-b)² = R² y del círculo. Resolvemos problemas resueltos explicados paso a paso. Puntos de la circunferencia. Geometría plana. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Los puntos cuyas coordenadas cumplen dicha ecuación forman parte de la circunferencia.

Un círculo es una circunferencia que incluye los puntos de su interior. La distancia de dichos puntos del interior hasta el centro de la circunferencia es menor que el radio. Por tanto, la ecuación del círculo de centro (a, b) y radio R es

Finalmente, si no queremos el borde del círculo, escribimos el signo de desigualdad estricta:

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16 octubre, 202119 octubre, 2021

¿Dividir entre 0 da infinito?

Es frecuente escuchar a gente decir que el resultado de dividir entre 0 es infinito. Sin embargo, esto no es correcto: no se puede dividir entre 0 y, en los supuestos casos en que “se puede”, el resultado no sería siempre infinito. A continuación, mostramos explicamos el por qué y el origen de este falso mito.

Se dice que el resultado es infinito porque cuanto más se acerca el divisor a 0, más grande es el resultado de la división. Por ejemplo,

1 entre 2 es 0,5
1 entre 1 es 1
1 entre 0,5 es 2
1 entre 0,3 es 3,3333…
1 entre 0,1 es 10
1 entre 0,01 es 100
1 entre 0,001 es 1.000
1 entre 0,0001 es 10.000

En el cálculo diferencial, dada una función y = f(x), el límite de dicha función en el punto x = a se denota por

Y puede verse como el número al que se aproxima la función y = f(x) cuando x se aproxima a x = a.

Por ejemplo, consideremos la función f(x) = 2/x² cuya gráfica es la siguiente:

Observando la gráfica se aprecia claramente que cuando x se aproxima a 0 los valores y = f(x) crecen mucho. Por ejemplo,

La función y = f(x) crece infinitamente cuando x se aproxima a 0, por lo que se dice que la función tiene límite infinito:

El cálculo de límites a veces resulta un poco complicado, razón por la que se utilizan ciertas reglas que SÓLO tienen sentido cuando trabajamos con límites. Una de estas reglas es que un número distinto de 0 dividido entre 0 es infinito. Por ejemplo, usamos esta regla para calcular el límite anterior:

Nota: técnicamente, la igualdad anterior no es correcta (por eso se escribe en rojo).

Veamos otro ejemplo:

Es importante remarcar que esta regla exige que sea un número DISTINTO de 0 dividido entre 0, ya que 0/0 es una indeterminación (indeterminación 0/0) que en cada límite puede tener un resultado distinto.

Por ejemplo,

Y, sin embargo, si sustituimos x = 0 en los límites, tenemos la fracción 0/0:

Conclusión

Como conclusión, el resultado de dividir entre cero no es infinito. De hecho, ni siquiera está permitida la operación “dividido entre 0”, como hemos visto. Ahora bien, en el cálculo diferencial se utiliza la regla “un número entre 0 es infinito” sólo para referirse a que el resultado de dividir entre números cercanos a cero es un número muy grande.

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15 octubre, 202119 octubre, 2021

¿Se puede dividir entre 0?

Aunque pueda pensarse que tendría sentido la división entre cero, esta operación no es posible matemáticamente porque conduce a contradicciones matemáticas, como muestran algunos ejemplos que proporcionamos a continuación.

Ejemplo 1

Partiendo de la igualdad a = 0, sumando 1 y dividiendo entre a en ambos lados, obtenemos una contradicción:

Esta contradicción surge en la cuarta igualdad, cuando hemos dividido entre a = 0.

Ejemplo 2

La división de números reales a/b es el único número real c tal que a = b·c, es decir,

Si suponemos que b puede ser 0, entonces tenemos que para cualquier número a existe un único número c tal que a = b·c = 0·c = 0, lo que significa que cualquier número real, a, es igual a 0, lo cual es falso.

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12 octubre, 202116 septiembre, 2021

Cómo obtener la fórmula de (a + b)²

Recordad que para calcular el cuadrado de una suma tenemos una fórmula:

Ahora bien, si no recordamos dicha fórmula o queremos saber de dónde viene, sólo tenemos que realizar una multiplicación.

Como a² = a·a, podemos escribir el cuadrado de la suma como un producto:

Observad que cada sumando del primer paréntesis debe multiplicar a cada uno del segundo. Además, hay que tener en cuenta que a·b = b·a.

Del mismo modo podemos demostrar la fórmula para el cuadrado de la resta.

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10 octubre, 202116 septiembre, 2021

Suma al cuadrado: (a +b)²

Como regla general, el cuadrado de la suma es distinto de la suma de los cuadrados. Es decir,

Por ejemplo, si a = 1 y b = 2, la suma de sus cuadrados y el cuadrado de su suma son distintos:

Para calcular el cuadrado de una suma disponemos de una sencilla fórmula:

Lo mismo ocurre cuando se trata de una resta:

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

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7 octubre, 202115 septiembre, 2021

La raíz de la suma es menor que la suma de las raíces

Sean x e y dos números NO negativos, entonces

Es decir, la raíz cuadrada de su suma es menor o igual que la suma de sus raíces cuadradas.

Nota: es necesario exigir que x e y sean no negativos para que existe su raíz cuadrada.

Ejemplo: Sean x = 1 e y = 2, entonces la raíz de la suma es

Y la suma de las raíces es

Se cumple la desigualdad:

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3 octubre, 202118 septiembre, 2021

Ecuación de una circunferencia

La circunferencia de radio R y centro P = (a, b) es el conjunto de puntos del plano tales que su distancia al punto P es exactamente R:

Dichos puntos cumplen una ecuación, la ecuación de la circunferencia, que es la siguiente:

Si queremos saber si un punto forma parte de una circunferencia dada (o de un círculo), sólo tenemos que comprobar si sus coordenadas cumplen la ecuación.

Ejemplo: la circunferencia x ²+ y² = 1 tiene centro (0,0) y su radio es 1

El punto (0, 1) es de la circunferencia y, por tanto, sus coordenadas cumplen la ecuación de la circunferencia:

Sin embargo, el punto (1, 1) no cumple la ecuación porque no es un punto de la circunferencia:

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28 septiembre, 2021

Ecuaciones con fracciones

Fracciones con igual denominador

Si tenemos una ecuación con fracciones con el mismo denominador, para eliminar las fracciones de la ecuación sólo tenemos que multiplicar TODOS los sumandos de la ecuación por el denominador.

Ejemplo:

$Explicamos cómo resolver ecuaciones con fracciones: tenemos que multiplicar toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. También, recordamos algunas propiedades de las fracciones. Con ejemplos y ecuaciones resueltas. Secundaria. ESO. Álgebra. Matemáticas.$

Multiplicamos todos los sumandos por el único denominador 2 y los denominadores desaparecen:

Resolver la ecuación es muy sencillo ahora:

Fracciones con distinto denominador

Si tenemos una ecuación con denominadores distintos, podemos multiplicar TODOS los sumandos de la ecuación por el MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (mcm) de los denominadores.

Recordad que para calcular el mcm de dos números tenemos que descomponerlos en un producto de potencias de números primos y escoger los factores comunes y no comunes al mayor exponente.

Ejemplo:

Podemos reescribir la ecuación extrayendo las x del numerador:

Tenemos los denominadores 2 y 3. Como son números primos, su mínimo común múltiplo es 6, así que multiplicamos todos los sumandos por 6:

Resolvemos la ecuación:

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27 septiembre, 202119 septiembre, 2021

Encontrar la parábola a partir de su gráfica

Observando la gráfica de una parábola podemos obtener la siguiente información:

Las coordenadas del vértice.
Las coordenadas de 3 puntos distintos de la gráfica.
Los puntos de corte con el eje abscisas.

Esta información es suficiente para hallar la ecuación de una parábola, la cual tiene la forma

siendo a ≠ 0.

Ahora, recordamos algunos conceptos que nos ayudarán a obtener los coeficientes a, b y c a partir de la gráfica de la parábola.

Vértice

Todas las parábolas tienen forma de $\cup$ (si a>0) o de $\cap$ (si a<0). En cualquier caso, el punto más alto o máximo (si a>0) o el punto más bajo o mínimo (si a<0) de la parábola es el punto cuya primera coordenada es

Ejemplo de una parábola con forma de $\cup$ (verde) y otra con forma de $\cap$ (azul):

Raíces

Los puntos (α, 0) de la parábola cortan al eje de abscisas. Una parábola puede tener 1, 2 o ningún punto de corte con este eje. Se pueden dar 3 casos.

Caso 1:

La parábola tiene dos raíces (reales) distintas: α y β. Entonces, se cumple la siguiente igualdad:

Caso 2:

La parábola tiene una única raíz (real): α. Entonces, se cumple que

Caso 3:

La parábola no tiene raíces. En este caso, no podemos usar las raíces para encontrar la ecuación.

Obtener la ecuación

Una forma de obtener la ecuación de la parábola es hacerlo resolviendo un sistema de ecuaciones lineales a partir de 3 puntos distintos de la parábola. Sin embargo, este método puede ser engorroso, así que es preferible utilizar las propiedades vistas anteriormente: coordenadas del vértice, puntos de corte, etc.

Ejemplo 1: encontrar la ecuación de la parábola que corta al eje de las abscisas en los puntos (1, 0) y (3, 0) y que pasa al eje de ordenadas en el punto (0, 9).

De los puntos de corte con el eje de abscisas sabemos que las raíces de la función parabólica son x = 1 y x = 3. Por tanto, la ecuación de la parábola es

Falta conocer el coeficiente $a$ , pero podemos hallarlo sabiendo que la parábola pasa por el punto (0, 9). Sólo tenemos que sustituir las coordenadas:

Por tanto, la ecuación de la parábola es

O bien, si calculamos los productos,

Gráfica:

Ejemplo 2: hallar la ecuación de la parábola que tiene el vértice en el punto (1, 1) y que pasa por el punto (0, -3).

Sabemos que la primera coordenada del vértice es

Por tanto, como el vértice está en (1, 1), tenemos

Por otro lado, podemos sustituir las coordenadas del punto (0, -3) en la ecuación general de la parábola:

Sustituimos $c = - 3$ y $b = - 2 a$ n la ecuación:

Nos falta hallar el coeficiente $a$ , pero también podemos sustituir las coordenadas del vértice (1, 1) en la ecuación:

Luego la ecuación de la parábola es

Gráfica:

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22 septiembre, 202114 septiembre, 2021

¿Existen funciones que no cortan los ejes de coordenadas?

Dada una función y = f(x), los puntos de su gráfica son (a, b) tal que b = f(a).

Eje vertical, Y

El posible punto que corta al eje vertical es (0, f(0)). Sin embargo, puede darse el caso de que x = 0 no sea un punto del dominio de y = f(x) (porque no existe la imagen de 0). Esto ocurre, por ejemplo, con la función f(x) = 1/x:

Eje horizontal, X

Los puntos que cortan al eje vertical son (a, 0) tales que f(a) = 0. Para hallar dichos puntos, sólo hay que resolver la ecuación f(x) = 0. Si dicha ecuación no tiene solución, entonces no hay punto de corte. Esto ocurre, por ejemplo, con la función f(x) = -x² +2x -2:

Función sin puntos de corte

Una función que no corte a los ejes debe cumplir las siguientes condiciones:

No existe imagen de x = 0.
La ecuación f(x) = 0 no tiene soluciones (reales).

La función f(x) = 1/x cumple estas condiciones y es un ejemplo de función que no corta a los ejes de coordenadas. Otros ejemplos:

- f(x) = 1/x²
- f(x) = 1 + |x|
- f(x) = 1 + √x

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